概念的隱性結構

在《概念範疇的兩個重要的區分》一文中，我提出了概念的背景結構和支點結構這兩種隱性結構。例如，在“彎曲”這個概念的結構中，隱含了“在空間中”這個隱性結構，等等。以下就以“彎曲”這個概念為例，展示如何在内涵邏輯中，通過引入新的運算元，來揭示一個概念的隱性結構。

 

1.揭示“彎曲”這個概念的完整結構

在Montague的內涵邏輯中，“彎曲”這個概念可以用如下的公式表示（C表示彎曲）：

(1)  λx(C(x))

它屬於類型< e, t >。但這種表達式只顯示“彎曲”這一概念的顯性結構，即表示它是一個分別以個體和真值為定義域和值域的涵項，並沒能揭示這個概念“在空間”的這種隱性結構，即沒能揭示此概念的完整結構。

當某物彎曲的時候，某物總是在某處彎曲。這就向我們啟示了揭示“彎曲”這一概念的完整結構的途徑。我們從下面這個句子入手：

(2)  a在一個花園裏彎曲。

利用Montague的內涵邏輯，(2)可翻譯為（G：花園；IN：在…裏）：

(3)   IN(ˆλY∃x(G(x)∧^ˇY(x)))(ˆC)(a)

運用λ-運算元將個體a抽象出來，得出公式：

(4)   λyIN(ˆλY∃x(G(x)∧^ˇY(x)))(ˆC)(y)

它表達了“在一個花園裏彎曲”這個概念。再用λ-運算元將花園G抽象出來，得出公式：

(5)   λXλyIN(ˆλY∃x(^ˇX(x)∧^ˇY(x)))(ˆC)(y)

它表達了“在...裏彎曲”這個概念。IN這個介詞表示一個三元關係，我們用希臘字母Φ表示這類三元關係的變項。用λ-運算元將IN抽象出來，得出公式：

(6)   λΦλXλyΦ(ˆλY∃x(^ˇX(x)∧^ˇY(x)))(ˆC)(y)

公式(6)表達了“彎曲”這個概念，與(2)比較，(6)揭示了這個概念的完整結構，其中Φ(ˆλY∃x(^ˇX(x)∧^ˇY(x)))這部分似乎揭示了它的隱性結構。但這時，它已不再是一元一階的概念，而是一個複雜的多元關係。

如果再用λ-運算元將彎曲C抽象出來，得出公式：

(7)   λZλΦλXλyΦ(ˆλY∃x(^ˇX(x)∧^ˇY(x)))(Z)(y)

它表達了某一類多元關係Z的結構。

然而，公式(6)並沒有顯示“彎曲”這個概念的“在空間中”這一隱性結構。至於公式(5)，它表達的是“在...裏彎曲”這個概念，而不是“彎曲”這個概念。即它是明述“在...裏”，而非揭示隱含的“在空間中”的結構。為了揭示一個概念的隱性結構，需要發展一些新的方法，引入一些新的運算元。

 

2. 在內涵邏輯中引入Ψ-運算元

爲了揭示某些概念的隱性結構，我在Montague內涵邏輯的基礎上引入一個新的運算元－－Ψ-運算元，通過Ψ-運算可以將一個表達式中的某些部分隱藏起來，故Ψ-運算元又稱爲“隱藏運算元”。引入Ψ-運算元必須符合以下兩個規則。

規則一（隱藏規則）：

設α為任一公式，γ為包含在α中的公式，α*為將Ψ-運算元運用於α中的γ後所得出的公式，β為將α*中的Ψ(γ)剔除後所得出的公式。

則α*=β.

規則二（顯現規則）：

設α*為任一含有Ψ-運算元的公式，α為將α*中的Ψ符號除去後所得出的公式。

則：α*→α.

定義：

設γ為語言L中的公式，

【γ】=df Ψ(γ)

 以上只是簡單地提點一下引入隱藏運算元的基本思想，具體引入時須遵循嚴格的步驟和制定嚴格的規則，我或將另文闡述。

 

3. 利用新的運算元揭示概念的隱性結構

利用新引入的運算元可以十分方便地揭示概念的隱性結構，以下再以彎曲這個概念為例。公式(5)表達了“在...裏彎曲”這個概念。它是將(2)翻譯成(3)後經過兩次λ-抽象而得出的。爲了使公式更明確起見，我們不從(2)開始，而是從以下句子開始：

（8）  a在某處彎曲。

它可以翻譯成：

(9)   IN(ˆλY*∃X (S*(X)∧^ˇY*(X)))(ˆC)(a)

這裡，S*(X)表示“X是空間位置”，S*表示二階概念，Y*表示二階謂詞變項。（注意：這裡的IN與(3)-(5)中的IN屬於不同的類型。）

運用λ-運算元將(9)中的a抽象出來，得出如下公式：

(10)   λxIN(ˆλY*∃X (S*(X)∧^ˇY*(X)))(ˆC)(x)

公式(10)表達了“在空間某處彎曲”這個概念。

現在將Ψ-運算元運用於公式(10)中的IN(ˆλY*∃X (S*(X)∧^ˇY*(X)))，得出如下公式：

(11)   λxΨ(IN(ˆλY*∃X (S*(X)∧^ˇY*(X))))(ˆC)(x)

根據“規則一”，(11)=(12)

(12)   λx(ˆC)(x)

可見(11)表達了“彎曲”這個概念，同時，Ψ(IN(ˆλY*∃X (S*(X) ∧^ˇY*(X))))這部分又揭示了“在空間某處”這個隱性結構。公式(11)就是我們所要的結果。

爲了更加直觀，我們可以用方括號【】代替Ψ。根據定義，(11)可以寫成：

(13)   λx【IN(ˆλY*∃X (S*(X)∧^ˇY*(X)))】(ˆC)(x)

這樣，方括號中的内容是隱含的東西就顯得更加直觀。

 

4. “空間彎曲”

現在看看“空間彎曲”這個説法。以s指稱空間，利用(13)所表達的“彎曲”概念，再通過λ-變換，“空間彎曲”可以翻譯成：

(14) 【IN(ˆλY*∃X (S*(X)∧^ˇY*(X)))】(ˆC)(s)

根據“規則二”，從(14)可推出：

(15)  IN(ˆλY*∃X (S*(X)∧^ˇY*(X)))(ˆC)(s)

然而從(15)可以看出，由於s指稱空間，它也可以代入S*(X)中的X。但一個常項不能既可以代入個體變項又可以代入謂詞變項，這表明“空間彎曲”是不合語法的。空間是二階概念，“空間彎曲”這種説法是將二階概念誤作一階概念。

當然，在愛因斯坦的廣義相對論中，“空間彎曲”有其特定的意思，但這種説法很容易引起誤導。例如，有些物理學家在談論時間旅行的可能性時認爲，由於時空是彎曲的，時空有可能繞一個彎剛好出現在過去某個時空點的附近，這時，通過某個捷徑（如穿過蟲洞）就可以回到過去。這就是受“空間彎曲”這種説法所誤導而產生的思想上的混淆。似乎過去還隱藏在宇宙的某個角落，循某種途徑就能到達。實際上過去已不復存在，如何還能回到過去？