日常語言中的梯級推理(一)

1. 引言

「推理」在一般人心目中似乎是一種學術味很濃，專屬於某些「智者」的活動，但根據當代語義-語用學家的研究，「推理」其實是一般人日常語言中的必要元素。沒有「推理」，人們幾乎無法進行交談。在日常語言的各種推理中，有一種頗為特別的「梯級推理」(Scalar Reasoning)，以往較少人作系統研究，但卻是一種頗常見的推理，其應用涉及多個語言層面，本文將簡介這種推理。



本文的「梯級」(Scale)是指由一些詞項組成的「序列」(Sequence)，這些詞項的排序方式可以依照各種各樣的理據，既可以是數學／邏輯／語義方面的理據，也可以是語用／修辭／慣用法方面的理據，因而便產生不同類型的「梯級推理」。

2. 量詞的單調性推理

「單調性推理」(Monotonic Inference)是當代「廣義量詞理論」(Generalized Quantifier Theory)研究的一種推理。簡言之，「單調性推理」是有關把某一真「量化句」(註1)中的「論元」換成其母集(Superset)／子集(Subset)後，所得語句是否仍然為真的推理。舉例說，設以下兩個語句為真：

有小學生在跑步。 (1)

所有小學生都在跑步。 (2)

容易看到對於上面第一句，如果把其左論元(相當於「主語」)「小學生」換成其真母集「學生」，並把右論元(相當於「謂語」)「跑步」換成其真母集「做運動」，所得語句仍然為真。至於第二句，如果把其左論元「小學生」換成其真子集「小一學生」，並把右論元「跑步」換成其真母集「做運動」，所得語句仍然為真，即

有小學生在跑步。 ⇒ 有學生在做運動。

所有小學生都在跑步。 ⇒ 所有小一學生都在做運動。

上述結果不是偶然的，而是「有」和「所有」這兩個量詞的一種屬性，稱為「單調性」(Monotonicity)，「廣義量詞理論」研究各種量詞的「單調性」。由於「所有」、「有」這些量詞有左、右兩個論元，每個論元可以換成其真母集或真子集，相應地便有四種「單調性」。舉例說，我們可以定義「右遞增性」如下：設p和q為量化句，我們說p的量詞是「右遞增」的當且僅當

如果p真，並且p的右論元 ⊆ q的右論元，那麼q也真。 (3)

如果p假，並且p的右論元 ⊇ q的右論元，那麼q也假。

類似地，我們也可定義「右遞減性」、「左遞增性」和「左遞減性」。據此，我們說量詞「有」是「左遞增、右遞增」，而「所有」則是「左遞減、右遞增」的。



為清楚顯示量化句的內部結構，以下把量化句寫成「量詞(左論元)(右論元)」的標準形式，例如上面的(1)和(2)便可分別寫成(下式略去副詞「在」和「都」)：

有(小學生)(跑步)

所有(小學生)(跑步)

從集合論的角度看，我們可以把上式中的「小學生」和「跑步」看成兩個集合(這裡須把「跑步」理解為「跑步者」的集合)，而量詞「有」和「所有」則是表達這兩個集合之間關係的「算子」(Operator)，其定義為：

有(A)( ⇔ A ∩ B ≠ Φ

所有(A)( ⇔ A ⊆ B

即「有」表達一種「交集非空」關係，而「所有」則表達一種「子集」關係。



我們可以把「單調性推理」看成一種「梯級推理」，這是因為「子集-母集」可以構成一個「集合梯級」，例如(1)的左論元便可構成如下「梯級」：

<小一學生, 小學生, 學生, 人>

上述梯級構成一個「遞增」(即從小到大)的序列，序列中各項都是其右面各項的子集，而「單調性推理」的實質就是把某一真「量化句」的論元換成該論元所處「梯級」上的其他元素後，所得語句是否仍然為真的推理。「單調性推理」有豐富的內容，有興趣的讀者請參閱拙文《廣義量詞系列：單調性推理原理》和《廣義量詞系列：單調性推理的擴展》。

3. 極性形容詞的單調性推理
3.1 基本概念

「極性形容詞」(Polar Adjective)是指可以用某種「度量」量度並以一對反義詞出現的形容詞，例如如以「高度」作為「度量」，則有「高」和「矮」這對「極性形容詞」，其中「高」為「正向形容詞」(Positive Adjective)，「矮」為「負向形容詞」(Negative Adjective)。至於如何界定何為「正」、何為「負」，則要視乎形容詞與有關「度量」的正／反比例關係。舉例說，如果我們以「車速」作為「快／慢」的「度量」，那麼由於「車速」與「快」成正比例關係，「快」和「慢」分別為「正向」和「負向」形容詞；但如果我們以「車速」作為「安全／危險」的「度量」，那麼由於「車速」與「安全」成反比例關係，「安全」和「危險」分別為「負向」和「正向」形容詞。



當代很多學者研究了「極性形容詞」的語義問題，提出了多種處理方案，本文採納Kennedy在On the Monotonicity of Polar Adjectives一文中的處理方案(略作修改)。Kennedy把「度量」表示為一條軸，並區分軸上的兩種「範圍」(Extent)：「正向範圍」和「負向範圍」，前者為由軸的最低點到軸上某一點的範圍，後者為由軸上某一點到軸的最高點的範圍。利用上述概念，我們便可以用同一條軸表達「正向形容詞」和「負向形容詞」的語義。試看下圖：

在上圖中，「6'5"」和「5'5"」為「高度」(以HEIGHT表示)軸上的兩點，每一點都把整條軸劃分為一個「正向範圍」(帶下標「+」)和一個「負向範圍」(帶下標「−」)。此外，軸上還有兩點T和S分別代表「高」和「矮」的某個標準，這兩個標準是參照「籃球員」(以BASKETBALL PLAYER表示)而定的，這是因為「極性形容詞」的標準往往隨著被修飾的名詞而變化，例如「騎師」的高／矮標準便顯然有別於「籃球員」的標準。T和S也分別把整條軸劃分為「正向範圍」和「負向範圍」，代表「高」、「不高」、「矮」和「不矮」這四個概念。請注意由於「矮」相對於「高度」來說屬於「負向形容詞」，SHORT (BASKETBALL PLAYER)表現為一個「負向範圍」。



根據上圖所述情況，以下兩句是真的：

以籃球員來說，6呎5吋屬於高。

以籃球員來說，5呎5吋屬於矮。

現在如果我們把軸上的「範圍」看成集合，那麼我們可以把以上兩句表達為以下標準形式：

所有[TALL (BASKETBALL PLAYER)][6'5"₊] (4)

所有[SHORT (BASKETBALL PLAYER)][5'5"₋]

請注意在上式中，量詞「所有」的兩個論元必須同為「正向範圍」或「負向範圍」。使用上述表達法的優點是，我們可以利用量詞「所有」的「左遞減、右遞增」屬性來推導某些有趣的推理。舉例說，由於「騎師」(以JOCKEY表示)的高度標準低於「籃球員」的高度標準而6呎7吋大於6呎5吋，我們有

TALL (JOCKEY) ⊆ TALL (BASKETBALL PLAYER)

6'5"₊ ⊆ 6'7"₊

利用(4)以及「所有」的「左遞減、右遞增」屬性，我們有以下推理：

以籃球員來說，6呎5吋屬於高。 ⇒ 以騎師來說，6呎7吋屬於高。

Kennedy的理論還可以應用於「比較結構」，試看下圖：

上圖顯示兩個人－John和Mary的高度的「正向範圍」和「負向範圍」。利用上圖，可知以下推理是有效的：

John較Mary高。 ⇔ Mary較John矮。

我們可以把上述推理表達為以下標準形式：

所有(MARY's HEIGHT₊)(JOHN's HEIGHT₊) ⇔ 所有(JOHN's HEIGHT₋)(MARY's HEIGHT₋)

請注意上述等價關係其實只是以下集合論定理的特例：

A ⊆ B ⇔ ~B ⊆ ~A

以上討論的推理都是顯而易見的，本文只是揭示這些日常推理背後的數學和語義學理據。

3.2 「太過」與「足夠」

Lobner在Phase Quantification: A Uniform Treatment of Some Quantifiers from Different Categories一文中討論了兩個副詞－「太過」("too")和「足夠」("enough")，並把這兩個詞的語義歸結為某種量化現象。在本小節，筆者將使用Kennedy的理論框架表達Lobner的上述概念。我們可以把「太過」和「足夠」表達為下圖中的「範圍」：

請注意上圖反映了Lobner提出的以下兩個相等關係(註2)：

不太高 = 夠矮

不夠高 = 太矮

參照上圖，我們可以使用上一小節介紹的方法來表達包含「太過」或「足夠」的語句。舉例說，以下兩句

以騎師來說，5呎3吋夠高了。

以騎師來說，5呎3吋不太高。

便可以分別表達為(請注意根據上述相等關係，~TOO TALL (JOCKEY) = SHORT ENOUGH (JOCKEY)：

所有[TALL ENOUGH (JOCKEY)][5'3"₊]

所有[~TOO TALL (JOCKEY)][5'3"₋]

利用上式和量詞「所有」的「單調性」，容易得到以下推理：

以騎師來說，5呎3吋夠高了。 ⇒ 以騎師來說，5呎4吋夠高了。

此外，根據上圖，由於

TALL ENOUGH (JOCKEY) ⊆ TOO TALL (JOCKEY)

我們亦有

以騎師來說，5呎7吋太高了。 ⇒ 以騎師來說，5呎7吋夠高了。



3.3 廣義分式

以上討論的「極性形容詞」都只涉及一個「參項」(Parameter)，但在某些情況下，我們須考慮多個「參項」，這時我們便要使用「分式」(Fraction)。舉例說，設我們使用完成工作件數(以JOB表示)、所需工人人數(以WORKER表示)和完成工作所需日數(以DAY表示)這三個「參項」來衡量「有效率」(以EFFICIENT表示)這個「極性形容詞」。那麼我們可以把EFFICIENT表達為下式：

EFFICIENT ≈ JOB / (WORKER × DAY)

在上式中，「≈」代表「與...成正比例」。請注意在上式中，JOB處於分子位置，這是因為JOB與EFFICIENT成正比例關係，而WORKER和DAY則處於分母位置，這是因為這兩個「參項」與EFFICIENT成反比例關係。利用上式和進行少許計算，我們便可得到以下推理：

兩個工人三天內完成五件工作算是有效率。 ⇒ 一個工人兩天內完成兩件工作算是有效率。

在某些情況下，某些「極性形容詞」的「參項」並不以數值形式出現或不能進行計算。但即使如此，我們仍可以對這些「極性形容詞」進行比較，在這種情況下，我們便要使用「廣義分式」(Generalized Fraction)的概念。設我們使用職級(以RANK表示)和達到某職級的年齡(以AGE表示)這兩個「參項」來衡量「叻」(以SMART表示)這個粵語「極性形容詞」，其中RANK表現為以下梯級：

<文員, 主任, 經理, 總裁>

現在我們可以把SMART表達為以下「廣義分式」：

SMART ≈ RANK / AGE

上式的理據是，一個人在越年輕時達到越高的職級便越「叻」。儘管我們不能對上式進行計算，但卻可比較兩個分式之間的大小，關鍵是逐個「參項」進行比較，惟須注意位於分子和分母的「參項」在比較時有剛好相反的方向，而且並非任何兩個「廣義分式」都可比較。舉例說，根據上式，我們有以下結果：

總裁 / 24 > 經理 / 25

總裁 / 30 與 經理 / 25 不可比較

利用上面第一個結果，我們可得到以下推理：

25歲做經理算是叻。 ⇒ 24歲做總裁算是叻。

在本小節，筆者引入了「廣義分式」的概念，這個概念其實只是某些「極性形容詞」與其「參項」的正／反比例關係的濃縮表達式，以後讀者將會看到「廣義分式」在「梯級推理」中有很重要的作用。

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註1：「量化句」是指含有「量詞」(Quantifier)的語句，「量詞」是指表達量關係的詞項。為簡化討論，本文只討論含有兩個論元(Argument)的「量詞」，這種「量詞」相當於語法學上所稱的「限定詞」(Determiner)，例如「所有」、「沒有」、「至少n個」、「m至n成」等。另請注意，量詞「有」在本文中應被理解成等同於「有至少一個」。



註2：在某些情況下，這兩組相等關係可能不成立，這時我們便要用四行分別表達「太高」、「夠高」、「太矮」和「夠矮」的概念。