風雲變幻誠多端──大自然之混沌與分形

　　馮夢龍寫《喻世明言》有言：「榮枯貴賤如轉丸，風雲變幻誠多端[3]。」影響天氣的變化的因素很多，自古難測。三國時期諸葛亮借東風讓人歎為觀止，假如真有其事。近代西方自然科學取得成功，可是天氣預測的精確程度暫不如其他科學理論。試想，每天在各媒體發佈的天氣預告，可靠程度有多高？為何只有未來一週的預測？明年二月十四日澳洲聖誕島飛魚灣的天氣如何？能否預測？順便想想，足球球季尚未展開，博彩公司已為下屆賽事提供賠率，以英超為例，為何博彩公司視曼阿利車四強為熱門？為何沒有五十年後的賽事賠率？五十年後的賽事不能預測嗎？這些問題關乎一個近代科學的概念：混沌。筆者在本文試以簡單的文字，管窺此新知之一二，並列數書以供有興趣的讀者們錐指探察。

　　近代科學有多可靠？艾耶爾[4]主張，只允許邏輯和純數學的命題為確鑿無疑的。我們不能憑體驗駁倒這類命題，因為它們非關經驗世界。而有關經驗世界事物的命題，只是假說，很可能成為事實但永不確鑿無疑。邏輯學分析語句，有助解釋邏輯和純數學的命題，跟有關經驗世界的語句，兩者之分別[5]。氣象學家羅倫茲亦認為，多數真實現象的理論研究，皆為近似值的研究[6]。費曼甚至說，任何物理理論皆是一種猜測[7]。科學理論是關乎經驗世界，不會像邏輯和純數學那樣百分百可靠。然而純數學建基於邏輯，自然科學建基於數學，科學理論的可靠程度是僅次於邏輯和純數學。而且，自然科學放諸四海皆準。只要實驗條件一致，你在北京做實驗所獲的結果，跟在東京做的，在可接受實驗誤差範圍內。偽科學、算命、風水命理或迷信的觀念，並非建基於理性思維，不可與科學相比。大體而言──我重申是大體並非個別例子──非科學的推斷不夠精確、預測力弱和推測不佳。

　　我們看到自然科學跟其他學科或民間觀念相比，是相當可靠的。然自然科學各門學科之間呢？這可有些微差別。例如你打開一本大學程度物理書，當中的理論都相當可靠。而一些有關生命起源、宇宙濫觴的理論，由於事隔太久，很多數據已失佚，人類可能仍未找到滿意的解釋。天氣預測亦是一門很難操縱的學問，一來涉及的數據繁多，二來能夠處理大量數據的電腦是近代產物。現時的天氣預測已較遠古時期的有大改進。我亦強調，縱使天氣預測在各門科學之間不及某些很精準的理論，但跟其他非科學觀念比較，還是很可靠的。

　　走筆及此，前戲也弄得差不多了，我們轉入正題。何為混沌？容許我先舉例子，稍後定義。較易為一般人理解的比喻是「蝴蝶效應」：在巴西，一隻蝴蝶輕拍翅膀，導致美國德州產生一個龍捲風。又，以電影為例，奇斯洛夫斯基的《盲打誤撞》[8]和提克威爾的《疾走羅拉》[9]都用了一個非主流的敘事方式。影片可分為幾個故事，每段故事的開局是一樣的，因為一些很細微的因素，引致結局不一。例如趕上一班列車和趕不上，就有不同的後果。羅倫茲[10]則以彈珠台為喻。他憶述大學時期，學生熱中於這種遊戲。有些學生偶爾獲勝，多數人輸掉。他發覺即使是有練習過的學生也不會成為長勝軍。羅倫茲解釋彈珠台機器對初始速度很敏感。留意，這些比喻較易理解，但不是混沌的完美例子。羅倫茲對混沌現象的解說為，看似隨機和不可預料的行為，然而是根據精確的通常易於表述的法則進行[11]。他又重申，不論必要的初始條件的差別如何細，附近的狀態最終會擴散，這是混沌行為的一個必要特性[12]。這可能不易理解[13]，正如他說，精確的定義並不經常是方便的一種[14]。

「蝴蝶」──羅倫茲吸引子[15]

　　清朝大學士紀昀﹝字曉嵐﹞曾以「螳螂捕蟬，黃雀在後[16]」喻眼光短淺。有沒有荒誕地想過，那黃雀之後又有蟬，蟬之後又有螳螂，螳螂之後又有黃雀，如此類推，不斷循環？這可能是分形的其中一個精髓，儘管不夠準確。曼德勃羅[17]介紹分形時斷言，多數大自然的形態都是無規律和無條理的，遠比歐幾里得幾何的圖形龐雜。歐氏幾何不足以描繪現實世界。曼德勃羅[18]曾研究英國的海岸線有多長。他著眼於海岸線，我在這兒談談面積，希望有助理解。簡單的圖形如圓形、方形和三角形，我們都有簡單的方程計算它們的面積。但英國島的面積呢？英國島不是簡單的圖形，我們沒有簡單的方程計算它們的面積。曼德勃羅談及海岸線是自相似曲線﹝self-similar curves﹞，這些曲線後來被稱為分形。這自相似是什麼東西？閒言「兩條平行線終會有交彙的一天」。試想，我們建築由兩條平行線組成的火車軌道，圍繞地球一周。走到軌道中間，平行線看來有交彙的一點。但當我們向這點走近，不斷不斷的走，不斷循環也抓不住這交彙點，平行線並不交彙。我們不斷走近這點的影像，與 Koch 曲線的自相似近似[19]。再幻想你有一輛甲蟲車，望著它，越望越仔細，甚至用顯微鏡放大，車的表面看似越來越滑，但當你越放越大，它的表面越崎嶇不平，哥倫比亞大學的 Christopher Scholz 發現分形幾何是描述地球表面的強大工具[20]。

曼德勃羅集[21]

　　前兩般分別勾畫了混沌和分形的概念，接著談談一道科學門外漢很喜歡問的問題，這些東西有什麼用？假如我說，混沌的應用很廣，包括數學、物理學、生物學、電腦科學、工程學、心理學、經濟學、金融學等等，他們也不會真正了解混沌有什麼用。假如我深入點說，在生物學中生態學的動力系統中，他們大概已經頭昏腦脹。所以我不打算在這裡解答。現代科學發展到今天，分工極細。前沿的理論不易為普通人理解，因為學習科學是要循序漸進，一步一步慢慢積聚知識。在現代社會，要精通每一個學科近乎不可能，但對眾多學科有一些基本的認知不是不可能。介紹混沌，這篇短文所能做到的十分有限。有興趣的讀者，可先從 James Gleick 的著作入手，這本書按混沌的歷史發展，由蝴蝶效應到自然之幾何到生物模型到將來展望，對各種概念和應用都著墨不少。Ian Stewart 那本也可視為通俗入門。羅倫茲和曼德勃羅的著作比較專門，適合有科學底子的讀者。Anton 和 Rorres 的《基礎線性代數應用版》[22]則是以最簡單的數學作較專業的入門。Peitgen、Jurgens 和 Saupe 的《混沌與分形──科學之新邊疆》[23]圖例豐富多彩，屬專門著述，是研究生的尚佳良伴。這些書多列有頗詳盡的書目以供深入研習。

注

[1] 「上帝擲骰子」這話該理解為「世界沒規律」，不應鑽牛角尖爭辯這話預設上帝存在而沒有實証。原文為：The question is not so much whether God plays dice, but how God plays dice. 見：Ian Stewart, Does God Play Dice? The New Mathematics of Chaos. (2nd ed.) London: Penguin Books, 1997, p.xii.

[2] 轉引自 James Gleick, Chaos: Making A New Science. London: Vintage, 1998, p.282.

[3] 馮夢龍：《喻世明言．卷十八．楊八老越國奇逢》。

[4] A.J. Ayer, Languages, Truth and Logic. London: Penguin Books, 2001, p.9.

[5] 簡言之，語句有分析和綜合。分析語句的真偽只取決於表達式的用法，是先驗、必然和無經驗內容的；綜合語句的真偽除了取決於表達式的用法，還要檢查現實世界，是後驗、蓋然和有經驗內容的。科學理論通常是綜合語句。請參看張海澎：《分析邏輯──理性思維的基石》﹝香港：青年書屋，2004 年 6 月初版﹞，頁 75-79。

[6] Edward Lorenz, The Essence of Chaos. Seattle: The University of Washington Press, 1993, p.5.

[7] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics. (Definitive ed.) Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, 2006 (7th printing, 2007), Volume 1, p.6-1.

[8] 奇斯洛夫斯基﹝Krzysztof Kieslowski﹞：電影《盲打誤撞》﹝Przypadek，1987 年﹞。

[9] 提克威爾﹝Tom Tykwer﹞：電影《疾走羅拉》﹝Lola Rennt，1998 年﹞。

[10] 同注 6，p.9-11.

[11] 原文為：seemingly random and unpredictable behavior that nevertheless proceeds according to precise and often easily expressed rules. 同注 6，p.ix.

[12] 原文為：an essential property of chaotic behavior is that nearby states will eventually diverge no matter how small the initial differences may be. 同注 6，p.32.

[13] 考慮到讀者的程度不一，我不打算作太專門的解釋﹝即涉及隨機、偽隨機、決定性混沌等等，其實 James A. Yorke 甚至說過：「If you could write down the solution to a differential equation, then necessarily it's not chaotic」轉引自同注 2，p.76-68.﹞。這只是一篇可能還算不上普及科學的文章，旨在介紹混沌與分形這些上世紀後半期才發展的科學，並喚起讀者興趣而作伸延閱讀。寫科普讀物最難之處是不用專門名詞而讓門外漢了解科學又不乏味。

[14] 原文為：Precise definitions are not always convenient ones. 同注 6，p.16.

[15] 以 MATLAB R2006a 繪。

[16] 紀昀：《閱微草堂筆記．卷四．槐西雜志十四》。語本見《莊子．山木》：「睹一蟬，方得美蔭而忘其身，螳螂執翳而搏之，見得而忘其形；異鵲從而利之，見利而忘其真。」

[17] Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman and Company, 2000, p.1.

[18] 同注 17，第五章。或見：Benoit B. Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science. 156, 1967, p.636-638.

[19] 參看：http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Kochsim.gif

[20] 同注 2，p.105-106.

[21] 以 MATLAB R2006a 繪，程式由 Alberto Strumia 編寫。參看：http://www.ciram.unibo.it/~strumia/

[22] Howard Anton and Chris Rorres, Elementary Linear Algebra Application Version. (8th ed.) John Wiley & Sons, Inc., 2000, ch.11.14-11.15.

[23] Heinz-Otto Peitgen , Hartmut Jurgens and Dietmar Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. (2nd ed.) New York: Springer-Verlag, 2004.