假如人有十二隻手指... (上)

1. 引言

我們現時之所以通行十進制，顯然是因為人有十隻手指。10這個數字具有以下算術特性：除了1及其本身外，只有2和5這兩個因數。大於1且小於10並與10「互質」(Relatively Prime)(註1)的整數共有三個：3、7和9。至於其他小於10的整數(即4、6和8)，它們與10的最大公約數都是2，是一個很小的整數。以上這些特性對我們的乘除法都有很重要的影響(詳見下文)。



筆者忽發奇想，假如人有十二隻手指並使用十二進制的話，我們的四則運算將會是何種面貌？為何要選擇12？這是因為12這個數跟10較接近，而且其算術特性似乎較10「有趣」，12的算術特性如下：除了1及其本身外，它還有2、3、4和6這四個因數。大於1且小於12並與12互質的整數共有三個：5、7和11。至於其他小於12的整數(即8、9和10)，它們與12的最大公約數分別為4、3和2，不像10那樣「單調」。



在十二進制下，我們有十二個數碼(Digit)，不妨把它們記作：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B，其中0至9就是我們熟悉的十進制數碼，A和B分別相當於十進制下的10和11。以下筆者將用下標12來標明十二進制下的數字(十進制下的數字則沒有標記)，以下是十二進制換算為十進制的一個例子：

如果我們不是靠「數手指」來做加減法，那麼十二進制下的加減法應較十進制略為複雜，這是因為十二進制的「加法表」比十進制多了很多項。雖然筆者不是心理學家，但我相信在學過加減法的人的頭腦中其實有一個(不完整的)「加法表」，這個「加法表」不是我們刻意死記的，而是經過千百次計算後不自覺地進入我們的永久記憶中，最明顯的例子就是6 + 7，相信很多人都能不假思索地講出6 + 7的答案。當然有些加法是要經過少許思考的，例如9 + 7的答案便似乎不是我頭腦中「加法表」的一部分，每次遇到9 + 7時，我都會進行一種「進1減1」的思考，即先在7之前加個1，然後從7減去1，得16。但無論如何，6 + 7的例子說明了我們頭腦中的確存在著「加法表」。由於十二進制的「加法表」比十進制複雜，進入我們永久記憶的項目較多，所以我認為十二進制下的加減法可能較十進制略為困難。

2. 乘法

跟加法不同，每個人在學習乘法時都要刻意背誦「乘法表」(在中國稱為「九因歌」)，因此「乘法表」的複雜程度會直接決定我們學習乘法的難度。在本節筆者將比較十進制下的「九因歌」與十二進制下的「B因歌」。表面上看，「B因歌」共有11 × 11 = 121句歌訣，比「九因歌」的9 × 9 = 81句歌訣足足多了40句，「B因歌」似乎比「九因歌」難記得多。可是，如果要背誦的東西有高度規律性，即使數目很大，也不難記憶，因此我們要比較的應是「九因歌」與「B因歌」的規律性。



在「九因歌」中，1、2和5的歌訣最易記，這是因為這三個數字是10的因數；9雖然不是10的因數，但由於有以下關係：

9的歌訣因而具有某種規律性，可以概括為

例如「九二一十八」、「九三二十七」...。至於4、6和8，它們的歌訣呈現一種循環性，以4的歌訣為例，如果我們補上一句附加歌訣「四十中四十」：

那麼容易看到下排其實在重覆上排的模式，6和8的歌訣也具有這個特點。這裡其實有一個規律：4、6、8這三個數字與10的最大公約數都是2，而10 / 2 = 5，所以這三個數字的歌訣每五句出現一個循環。不過，由於這三組歌訣中的每一組都只出現兩個循環，其規律性不太明顯。上述規律也適用於3和7，由於這兩個數字與10互質，即與10的最大公約數都是1，而10 / 1 = 10，所以這兩個數字的歌訣只能每十句出現一個循環，即毫無循環可言。由此可見，3和7的歌訣是最沒有規律的。



我們可以把上述觀察推廣至十二進制的情況。在「B因歌」中，1、2、3、4和6的歌訣也應很易記，因為這些數字是12的因數；而B的歌訣也應具有規律性，因為如把11和12分別代替(1)中的9和10，(1)仍然成立。由於8、9、10與12的最大公約數分別為4、3和2，8、9和A的歌訣分別表現為每三句、每四句和每六句出現一個循環。至於5和7，它們的歌訣應沒有規律可言。以下列出「B因歌」的全部歌訣：

為節省空間，上列歌訣全用阿拉伯數字，且沒有加下標12，但都應理解為十二進制下的數字，例如「26得10」中的「10」便應理解為10₁₂，即等於十進制下的12。


可以看到，跟「九因歌」一樣，在「B因歌」中有兩個數字(5和7)的歌訣沒有規律可循，但1、2、3、4、6和B的歌訣卻很有規律，其餘的8、9和A的歌訣也有較明顯的循環性。總括而言，雖然「B因歌」比「九因歌」多出40句歌訣，但其規律性似乎足以抵消它相對於「九因歌」的缺點。