假如人有十二隻手指... (中)

3. 除法

本來除法作為乘法的逆運算，沒有單獨討論的必要，不過由於中國傳統的珠算有一種特別的除法歌訣(稱為「九歸歌」)(註2)，拿十進制下的「九歸歌」與十二進制下的「B歸歌」比較一下也是饒有趣味的事。以下先列出「九歸歌」的全部歌訣：

1逢1進1,	1逢2進2,	1逢3進3,	1逢4進4,	1逢5進5,	1逢6進6,	1逢7進7,	1逢8進8,	1逢9進9
21添作5,	2逢2進1,	2逢4進2,	2逢6進3,	2逢8進4
313餘1,	326餘2,	3逢3進1,	3逢6進2,	3逢9進3
412餘2,	42添作5,	437餘2,	4逢4進1,	4逢8進2
51添作2,	52添作4,	53添作6,	54添作8,	5逢5進1
611餘4,	623餘2,	63添作5,	646餘4,	658餘2,	6逢6進1
711餘3,	722餘6,	734餘2,	745餘5,	757餘1,	768餘4,	7逢7進1
811餘2,	822餘4,	833餘6,	84添作5,	856餘2,	867餘4,	878餘6,	8逢8進1
911餘1,	922餘2,	933餘3,	944餘4,	955餘5,	966餘6,	977餘7,	988餘8,	9逢9進1

請注意上面對傳統的「九歸歌」作了一些修改。首先，傳統的「九歸歌」凡是「逢X進X」都沒有講清楚當前的「除數」(Divisor)是甚麼；為清晰起見，我在這些歌訣的首位加上「除數」，例如「1逢1進1」、「2逢2進1」等。其次，傳統的「九歸歌」是使用「三一三十一」而非上面的「313餘1」；但由於前者容易與乘法歌訣混淆，所以我寧可採用後者。第三，傳統的「九歸歌」是使用「九一下加一」而非上面的「911餘1」；但為了使歌訣的形式更加劃一，我寧可採用後者。


跟「九因歌」一樣，在「九歸歌」中，1、2和5的歌訣最易記。此外，由於

10n = 9n + n     (2)

9的歌訣也很有規律性，可以概括為

「9nn餘n」，1 ≤ n ≤ 8

此外，4、6和8的歌訣也有循環性，但不很明顯。3和7的歌訣按理是最沒有規律的，不過由於3是一個較小的整數，它的歌訣只有五句，所以影響不大。



以下簡單解釋一下這些歌訣的意義，每一句歌訣的第一個數字代表「除數」，第二個數字(如歌訣不是「X逢X進X」的形式則須乘大10倍)代表「被除數」(Dividend)，第三個數字代表「商數」(Quotient)，第四個數字(如有的話)則代表「餘數」(Remainder)。因此，「21添作5」的意思就是，10 / 2 = 5；「326餘2」的意思就是，20 / 3得商6餘2；「2逢6進3」的意思則是，6 / 2 = 3。



請注意上述「九歸歌」除了第1和第9行外，其他行是不完整的，例如第2行便缺少了「23XXX」，這是因為我們可以綜合運用「九歸歌」中「X逢X進X」與其他形式的歌訣來做某些除法。以下就讓我們計算74 / 3以示範這些歌訣的運用(註3)，為簡單起見，我們使用以下的俄羅斯式算盤，這種算盤的每檔有10粒珠：

首先把「被除數」74置於算盤最右端，如下圖所示：

上圖中紅色箭頭指著的一檔就是我們當前要處理的一檔(以下簡稱「當前檔」)。由於「除數」是3，我們要運用3的歌訣。應用「3逢6進2」，先從「當前檔」撥走6粒珠，然後在其左面的一檔(「進」就是指當前左面的一檔)撥上2粒珠。由於「當前檔」尚餘1粒珠未處理，紅色箭頭仍留在「當前檔」中：

接著應用「313餘1」，把「當前檔」中的1改為3，並在其右面的一檔(「餘」就是指當前右面的一檔)撥上1粒珠，紅色箭頭也移至該檔(由此可見，雖然「九歸歌」中沒有「37XXX」的歌訣，但我們可以綜合運用「3逢6進2」和「313餘1」來做70 / 3)：

接著應用「3逢3進1」，先從「當前檔」撥走3粒珠，然後在其左面的一檔撥上1粒珠：

至此我們已完成計算，根據上圖，我們知道74 / 3的結果為24餘2 (註4)。



在十二進制下，我們同樣可以進行珠算，除了要使用每檔12粒珠的算盤外，還要用到以下的「B歸歌」：

1逢1進1,	1逢2進2,	1逢3進3,	1逢4進4,	1逢5進5,	1逢6進6,	1逢7進7,	1逢8進8,	1逢9進9	1逢A進A,	1逢B進B
21添作6,	2逢2進1,	2逢4進2,	2逢6進3,	2逢8進4,	2逢A進5
31添作4,	32添作8,	3逢3進1,	3逢6進2,	3逢9進3
41添作3,	42添作6,	43添作9,	4逢4進1,	4逢8進2
512餘2,	524餘4,	537餘1,	549餘3,	5逢5進1,	5逢A進2
61添作2,	62添作4,	63添作6,	64添作8,	65添作A,	6逢6進1
711餘5,	723餘3,	735餘1,	746餘6,	758餘4,	76A餘2,	7逢7進1
811餘4,	82添作3,	834餘4,	84添作6,	857餘4,	86添作9,	87A餘4,	8逢8進1
911餘3,	922餘6,	93添作4,	945餘3,	956餘6,	96添作8,	979餘3,	98A餘6,	9逢9進1
A11餘2,	A22餘4,	A33餘6,	A44餘8,	A5添作6,	A67餘2,	A78餘4,	A89餘6,	A9A餘8,	A逢A進1
B11餘1,	B22餘2,	B33餘3,	B44餘4,	B55餘5,	B66餘6,	B77餘7,	B88餘8,	B99餘9,	BAA餘A	B逢B進1

可以看到，在「B歸歌」中，1、2、3、4、6和B的歌訣最易記，這是因為1、2、3、4和6都是12的因數，而把11和12分別代替(2)中的9和10，(2)仍然成立。至於8、9和A，它們的歌訣也展現出循環性。最有趣的是，5和7雖然與12互質，但它們的歌訣卻也似乎具有某種規律性。


據我所知，很多學過珠算的人都只懂加、減和乘法，不懂「歸除法」。我揣測這可能是因為「九歸歌」難記(至今我還是記不牢6、7、8的歌訣)，「B歸歌」的較高規律性或許會令有十二隻手指的人較易學會「歸除法」。

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註2：中國的珠算除法有很多種類，以「九歸歌」為代表的「歸除法」只是其中一類，傳統珠算除法還有「撞歸法」、「飛歸法」等類目。此外，現代中國還發展了多種珠算新除法，本文無法一一介紹。



註3：請注意「九歸歌」只適用於「除數」為一位數的情況，當「除數」多於一位時，我們便要把「九歸歌」與「九因歌」以及「撞歸法」結合運用，這裡不擬討論這種情況。



註4：如果繼續進行計算，我們將會得到含小數位的答案。請注意當「除數」為n位數時，原來「被除數」的小數點在完成計算後要向左移n個位。