鑽語探義有三難　不完備焉能亂擲

　　本文先借三段對答帶出語義學之三難。再看一些由哥德爾不完備定理引申之議論，僅點兩例，包括霍金借不完備定理看淡萬有理論之前景，並作評論以斥其疵。然後評論針對語義之議論。

　　一天，小豬問豬媽咪：「媽咪！媽咪！語言是什麼？」豬媽咪答道：「語言是表達思想或傳遞訊息的溝通工具呀。」小豬又問：「那溝通是什麼？」豬媽咪答道：「溝通嘛……就是交流意見或傳遞訊息呀。」小豬再問：「那傳遞訊息是什麼意思？」豬媽咪答道：「嗯……就是把訊息由一方送往另一方啦。」小豬繼續問：「那送往是什麼意思？」

　　小豬可以無止境地問下去。以語言替語言下定義，會陷入循環。是謂語義第一難。數學家亦遇到這難題，「不可能定義所有概念[1]。」因此，數學家視一些基本概念為公理，不作定義。[2]遇到問題，第一步不是解答，而是釐清。答問前先問：問題本身是否清晰？但這並不是要求無止境地問，當雙方有共識，就不必再追問。《荀子．正名篇》有言：「名無固宜，約之以命。約定俗成謂之宜，異於約則謂之不宜。」甚是。

　　明兒，豬媽咪帶小豬到海洋公園。小豬問豬媽咪：「媽咪！媽咪！鯨是什麼？」豬媽咪答道：「鯨是在海洋生活很大的動物。鯨就像魚，可鯨比魚大得多，牠可一口把你吃掉呢！」走到鯊魚館時，小豬指著鯊魚對豬媽咪說：「媽咪！媽咪！鯨啊！」

　　怎樣替詞語下定義才準確？不同的人對不同的事物有不同的認識，是謂語義第二難。試想，即使小豬知道鯨是什麼，小豬所理解的鯨是否就是豬媽咪所理解的鯨？反之，若小豬所理解的鯨是魚，而豬媽咪所理解的鯨是哺乳動物，那有沒有影響「鯨」的真正含意？顯然，「鯨」可以有客觀的定義。然而，有些東西卻難以令所有人有一致的理解，比方說，人的感覺。
　
　　晚上，小豬捧著《黃巴士》細嚼，豬媽咪道：「小豬，時候不早了！」小豬看看豬媽咪，回曰：「哦，知道了。」然後，小豬繼續讀《黃巴士》。豬媽咪見了，便氣呼呼的：「你知道甚麼？」

　　豬媽咪所說的「時候不早」並不是傳遞「時候不早」這信息，實指小豬是時候睡覺去。語義，有時取決於語境，是謂語義第三難。今人讀古書，往往原文與箋注並讀，其中一個原因是有些詞彙的意義隨著時代的轉變而轉變。翻譯失真，其中一個原因是文化差異。美國哲學家蒯因﹝W.V. Quine﹞更認為翻譯是不能確定的。[3]

　　可見，語義學﹝semantics，或稱語意學﹞不只是下定義的學問。語義學是研究意義的學問。Lyons 的《語言語義學》就分成三部分來闡釋語義學：其一，詞彙意義﹝lexical meaning﹞；其二，句子意義﹝sentence-meaning﹞；其三，言辭意義﹝utterance-meaning﹞。另外，語義學跟邏輯關係密切。晚近的研究更涉及電腦和認知科學等學問。

　　接著，某等看看哥德爾的不完備定理﹝Gödel's incompleteness theorems﹞引申的問題。在此之前，先述哥德爾發表這理論的背景。

　　德國數學家希爾伯特﹝David Hilbert﹞於一九零零年在巴黎舉辦的數學家大會上提出二十三道數學問題，短小精悍，對上世紀的數學發展頗有影響。其中第二道題探討算術公理之相容性。上面說過，數學家視一些基本概念為公理不作定義。那麼，「這組公理中個別公理的確定陳述是否以某種方式相互依賴呢？如果我們希望達到一種全體互相獨立的公理系統，這組公理是否因此就不能包含共通的部分而必須將那些共通部分隔離出去？[4]」哥德爾的不完備定理為這道問題作出回應。

　　英國兩師徒數學家懷特海﹝Alfred North Whitehead﹞和羅素﹝Bertrand Russell﹞於一九一零年至一九一三年間合著三冊本《數學原理》﹝Principia Mathematica﹞，試圖把所有數學真理建築在一些嚴謹的公理和符號邏輯之上。這著作受頌為自亞里士多德後數理邏輯界最重要的劃時代篇章。哥德爾發表的論文[5]，正是針對這部巨著。不完備定理不但對《數學原理》當頭一棒，其推衍的結論更懷特海和羅素的夢想幻滅。

　　哥德爾定理是甚麼？《哲學百科全書》對其表述如下：

　　「任何足以包含初等數論的形式系統中都存在不可判定的命題——即，命題既不能被証實也不能被証偽。﹝這個陳述有時候也被稱為哥德爾第一定理。﹞

　　這個定理的一個推論是任何足以包含初等數論的形式系統的一致性不能在這個系統內部被証明。﹝這個推論就是哥德爾定理；有時候也被稱為哥德爾第二定理。﹞[6]」

　　曾看過一些看似深邃實則空洞的類似議論如下：哥德爾不完備定理揭示，數學和邏輯的基礎是不完備的。一切建築在此之上的理論也不穩固。好比說，建築一座大廈，地基不穩，整座大廈也不穩。所以，數學和邏輯已遭破壞。

　　宇宙學家霍金﹝Stephen Hawking﹞曾借哥德爾的不完備定理來作為他看淡萬有理論﹝theory of everything﹞的前景。其中一段是：「物理理論，是數學模型。所以，若有些數學不能証明，則有些物理問題不能預測。[7]」

　　這類議論有何問題？發議論的人嘗試借不完備定理來排斥數學和邏輯。然而，不完備定理是如何影響數學和邏輯呢？

　　試想，不完備定理如何影響到某等在日常生活中所作的數學計算？例如，因為不完備定理，所以某等在超級市場買東西時其實都多給了錢或少給了錢？閣下在銀行的儲蓄其實是負數？選舉的結果其實該是多數服從少數？

　　試想，不完備定理如何影響到邏輯理論或推理？難道「陳恆是人」等於「陳恆不是人」？難道「凡人皆會死。我是人。所以我會死。」不再成立了？難道「我在說謊。」不再是悖論了？

　　這些議論顯然不成立。發以上議論的人，可能是混淆了反例﹝counterexample﹞。舉例言之，若想反對「所有西瓜都是綠色的」，只要找到不是綠色的西瓜則可。一個黑色的西瓜足以作為反例。但是，「有些西瓜是有毒的」，並不意味「所有西瓜都是有毒的」。有些系統有問題，並不意味所有系統都有問題。不完備定理有兩個關鍵量號﹝quantifier ﹞：「任何」和「存在」。「任何」所述的是必要條件，但有一些公理系統不符合這些必要條件。換言之，有些公理系統不在不完備定理之限。此一。即使符合必要條件，定理只是說「存在」一些命題怎樣怎樣，並不是說該系統之內所有命題都怎樣怎樣。此二。

　　霍金那席話比較複雜。「物理理論，是數學模型。」這不錯。但是，物理理論並非全都依賴數學。「若有些數學不能証明，則有些物理問題不能預測。」這說法欠善。「有些數學不能被証明」這不錯。但是，若要指出「有些物理問題不能預測」，則要指明那些是哪些物理問題，而其依賴的又是哪些數學。不能証明的數學，是否就是那些物理問題所依賴的呢？比方說，閣下到超級市場買東西，一個橙三元，閣下買三個橙，三三得九，所以閣下要付九元。不能証明的數學如何影響這簡單的乘法？霍金欲借不完備定理否定萬有理論，請先指出萬有理論所涉及的哪些數學是不能証明的。接著，霍金又舉哥德巴赫猜想﹝Goldbach's conjecture﹞為例。此例不妥，其因有二：一、哥德巴赫猜想只是未能証明，不是已証明不能証明；二、哪些物理問題須要依賴哥德巴赫猜想？霍金沒有指明。這不啻無的放矢。

　　好了，語義三難和不完備定理引申的問題，有何關係？這源於某曾聽到類似的一段議論：語言是不準確的，由於每個人的經歷都不同。例如，沒見過狗的人，跟被狗追咬過的人，對「狗」的理解就不同。既然每個人對同一個詞有不同的理解，所以語言是不準確的。故而咱們不能依賴語言，甚至要拋開枷鎖摒棄語言。

　　姑勿論發言者是否自打嘴巴。誠然，語言有時不能準確表達思想。﹝如何以純文字或說話描述怎樣縛鞋帶？﹞哥德爾亦言：「我對語言思考得越多，我就越奇怪人們居然能相互理解。[8]」然而，日常生活間，人類多數能有效地溝通、準確地傳遞訊息。反之，若沒有語言，簡單的事也難以表達。﹝試想未懂說話的嬰孩如何告訴人他吃還是撒尿還是睡覺？﹞

　　語言有時不準確，卻不能由此推論某等可以摒棄之。

主要參考書目

Kurt Gödel, Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936. New York: Oxford University Press, 1986.

Kurt Gödel, Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974. New York: Oxford University Press, 1990.

Th R. Hofmann, Realms of Meaning: An Introduction to Semantics. London and New York: Longman, 1999.

John Lyons, Linguistics Semantics: An Introduction. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

Ernest Nagel and James R. Newman, Gödel's Proof. (Revised ed.) New York and London: New York University Press, 2001.

John I. Saeed, Semantics. 影印本﹝北京：外語教學與研究出版社，2000 年 8 月一版，2007 年 10 月六印﹞。

戈德斯坦﹝Rebecca Goldstein﹞著，唐璐譯：《不完備性——哥德爾的証明和悖論》﹝長沙：湖南科學技術出版社，2008 年 4 月一版﹞。

希爾伯特﹝David Hilbert﹞著，李文林、袁向東編譯：《數學問題》﹝大連：大連理工大學出版社，2009 年 1 月一版﹞。

注

[1] 原文為：It is impossible to define every concept. 見 John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra. (7th ed.) Pearson Education, 2003, p.1.

[2] 例如，在集合論通常不定分子、算術系統的皮亞諾公理、代數中域在加法和乘法符合交換律、歐幾里得幾何中任意兩點可以通過一條直線連接、實分析的分格公理、概率三公理如任何事件的概率為零或一或兩者之間等等。

[3] 張海澎曾駁斥此論，見《分析邏輯——理性思維的基石》﹝香港：青年書屋，2004 年 6 月初版﹞，頁 146 – 148 或 http://www.thinkerspace.com/node/133

[4] 希爾伯特著，李文林、袁向東編譯：《數學問題》，頁 51。

[5] 題為 Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I，英譯為 On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I。

[6] 轉引自戈德斯坦著，唐璐譯：《不完備性——哥德爾的証明和悖論》，頁 9。

[7] 原文為：a physical theory, is a mathematical model.sO if there are mathematical results that can not be proved, there are physical problems that can not be predicted. 見 Stephen Hawking, Gödel and the End of Physics. http://www.damtp.cam.ac.uk/strings02/dirac/hawking/

[8] 轉引自同注 6，頁 76。