1. 自然邏輯簡史
「自然邏輯」(Natural Logic)是指以貼近自然語言的表達式為基礎的邏輯推理。古希臘的形式邏輯主要研究量化句之間的推理關係，所謂「量化句」，是指形如「所有S都是／不是P」和「有(至少一個)S是／不是P」的命題。這些量化句是從自然語言歸納出來的，具有一般句子的「主謂」(Subject-Predicate)結構，因此古典形式邏輯可稱為「古典自然邏輯」。古典形式邏輯的自然主義風格反映了西方早期邏輯學與語言學的密切關係，事實上，「主語」和「謂語」便既是邏輯學，又是語法學的術語。
「古典自然邏輯」主宰西方邏輯學兩千年，及至19世紀末20世紀初，西方興起了現代數理邏輯，邏輯學發生了「數學轉向」，大量引進數學方法。其最重要分支—「一階謂詞邏輯」(First Order Predicate Logic)在20世紀取得空前成功，在深度和廣度兩方面均大大超越古典邏輯。事實上，現代數理邏輯是以數學概念而非自然語言作為研究對象，背離了古典邏輯學與語言學緊密相連的傳統。此外，古典邏輯的研究結果由於可在一階邏輯下得到更有系統和更嚴格的解釋，完全可被歸併入一階邏輯，因而喪失了特殊性；而且現代數理邏輯還包括很多古典邏輯所沒有的內容，新興的邏輯學家不再使用或研究古典邏輯的各種術語和範疇，古典邏輯似乎已被掃進了歷史的垃圾堆中。
可是，物極必反，從20世紀中期起，自然邏輯重又引起部分學者的興趣，這主要有兩方面的原因。首先，當代是學術界空前繁榮、百花齊放的時期。不僅處於「正統」地位的數理邏輯獲得長足發展，各種「非正統」邏輯也如雨後春筍般應運而生，及至21世紀初最終形成試圖集各派大成的「泛邏輯」(Universal Logic)思潮。自然邏輯作為有悠久歷史傳承的邏輯流派，自然也得以「死灰復燃」。
其次，一階謂詞邏輯有其局限性，主要表現為其「非自然性」、「表達力」不足和「不可判定性」。由於早期的數理邏輯學家認為自然語言不精確和充滿歧義，他們致力發展專門為數理邏輯而設的「人工符號語言」。雖然這套語言對研究數學推理十分有用，但對研究日常語言的推理卻顯得格格不入。舉例說，簡單的一句
在一階謂詞邏輯中卻要表達為
上式用日常語言繙出來就是
比較一下(1)和(3)，便可見後者是多麼累贅和不自然，這是因為(2)完全沒有反映(1)的「主謂」結構，也沒有表示數字2的簡便方法。一階謂詞邏輯還有「表達力」(Expressive Power)不足的缺點，例如這種邏輯便無法表達下句：
鑑於「超過一半」在日常語言中是很常用的量詞，由此可見一階謂詞邏輯實在不適合用來研究自然語言的推理。
至於一階謂詞邏輯的「不可判定性」(Undecidability)，是指不存在一套可在有窮時間內完成的「算法」(Algorithm)，可用來判斷任意一階邏輯推理是否有效。換句話說，我們無法把一階邏輯推理完全變成一種可交由電腦代勞的機械運算，很多有效的推理模式仍有待人們去研究和發掘。
正由於存在上述局限性，數理邏輯無法涵蓋自然語言中所有有效的邏輯推理，因此一些對自然語言推理感興趣的學者便轉向對自然邏輯的研究。不過，他們的研究不是重走古典邏輯的老路，而是從全新的角度去研究自然語言推理，形成有別於「古典自然邏輯」的「現代自然邏輯」。
2. 現代自然邏輯的研究對象
「現代自然邏輯」尚處於初創階段，對於其研究對象，至今未有定論，可謂眾說紛紜。歸納各家的說法，大致上可以把自然邏輯的研究對象定為：以貼近自然語言的表達式為基礎的邏輯推理。對於這個定義，須作兩點說明。首先，這裡是說「貼近自然語言的表達式」而非「自然語言」，這是因為邏輯學作為一種理論概括，不是對無窮無盡的具體推理逐個進行研究，而是從抽象概括的角度研究有限的「推理模式」；這些推理模式往往並非表現為純粹的自然語言句子，而是表現為代表自然語言的「表達式」。以古典邏輯為例，前述的「所有S都是／不是P」便是一種抽象的表達式，其中S和P是「變項」，而「所有」一詞其實也是從日常語言中各種表達「全稱量化」的同義詞(例如「所有」、「每個」、「一切」等)抽象出來的。
其次，「貼近」是一個模糊概念，不同人對此可以有很不同的理解。某些學者所研究的表達式基本上保留了自然語言句子的原貌，只是把其中的「非邏輯詞項」處理成變項(古典邏輯就是這樣做)，或者加上某些句法／語義標記(例如Sanchez Valencia)(註1)。以前述的(1)為例，在上述後一種處理方法下，(1)會被表達為：
| (5) | |||
上式的第二行就是句中各個詞項的句法／語義標記。
某些學者則把自然語言句子表達成抽象的代數公式，但跟謂詞邏輯表達式不同，這些公式反映了自然語言句子的「主謂」結構(例如Sommers和Murphree)。在這種處理方法下，(1)會被表達為
其中"2S"和"D"分別對應(1)的主語和謂語。
還有一些學者處於上述兩個極端之間，他們把自然語言句子翻譯成某種語義學理論的表達式，這些表達式盡量保留句子的原貌。Keenan是這方面的代表，他使用「廣義量詞理論」的框架，而廣義量詞理論曾被稱為「主謂邏輯」，因為它保留了自然語言句子的「主謂」結構，例如把(1)表達為
其中"(at least 2)(STUDENT)"和"DANCE"分別對應(1)的主語和謂語。綜上所述，不同學者對何謂「貼近自然語言」可以有不同的解讀，本文採取兼容的態度，把以上這些理論都歸入「現代自然邏輯」的範圍。
現代自然邏輯繼承了古典邏輯的傳統，主要關注量化句的推理問題。不過跟古典邏輯不同，現代自然邏輯研究的量詞已不限於傳統的「所有」和「有(至少一個)」，而是「廣義量詞」(Generalized Quantifier)。有關廣義量詞的詳細介紹，請參閱拙著「廣義量詞系列」。簡言之，廣義量詞是自然語言中表達集合之間的邏輯／數量關係的眾多手段之一(註2)。在句法學上，不同類型的廣義量詞對應著多種語言結構，本文集中討論最重要的一種－「限定詞」(Determiner)，例子如英語的"every" 、 "some" 、 "at least one third" 、 "exactly three" 、 "all except two" 、 "John's" 、 "many"等等。
從廣義量詞理論的角度看，限定詞含有兩個「論元」(Argument)，可分別稱為「左論元」(Left Argument)和「右論元」(Right Argument)，分別對應著自然語言句子中的主語(略去限定詞後的部分)和謂語。以下筆者將採用Keenan的記法，把限定詞及其兩個論元寫成Q(A)(B)的形式，其中Q、A和B分別代表「限定詞」、「左論元」和「右論元」，例如在(7)中，(at least 2)、STUDENT和DANCE分別是「限定詞」、「左論元」和「右論元」。
涉及廣義量詞的自然邏輯推理豐富多樣，學者只能擇其最重要者進行研究，以下是筆者經整合諸家學說後歸納出來的四大類推理：
- 單調性推理
- 三段論推理
- 對當推理
- 論元結構推理
以下將分節介紹當代學者對這四大類推理的研究成果。
註1：有關本節所提學者的理論的詳細內容，將留待下文再述。
註2：由於「數」在日常生活中無處不在，自然語言中表達數量的手段異常豐富，除了「廣義量詞」外，至少還有「分類詞」(Classifier)(即漢語語法中所稱的「量詞」)、「數」(Number)範疇、「重疊」(Reduplication)(例如漢語的動詞重疊式「X一X」表小量)、「詞綴」(Affixation)(例如英語的動詞前綴"re-"表重複)等。
拜讀中
謝謝！
感謝Kafat兄
又能欣賞Kafat兄的鴻文，快哉！
thx kafat
great passage.
i'm not a human
受教
周生的文章寫得很直觀，受益甚深，謝謝^^
另，文中「可是，特極必反，從20世紀中期起」一句中，「特」應作「物」
謝謝提點
謝謝提點，已更正錯誤，看來「文盲」君改錯了筆名。
筆者看過很多論文，有些論文的解說過於簡略/抽象，讀時苦不堪言，所以我寫文時希望寫得盡量直觀。
不過，理想歸理想，有時在行文時為免文章過於冗長，省略了一些對讀者來說非常重要的細節而不自知。如有講得不明白/不妥善之處，請提出，好讓我作出修正/補充。
還有一些學者處於上
還有一些學者處於上述兩個極端之間，他們把自然語言句子翻譯成某種語義學理論的表達式，這些表達式盡量保留句子的原貌。
Keenan是這方面的代
表，他使用「廣義量詞理論」的框架，而廣義量詞理論曾被稱為「主謂邏輯」，因為它保留了自然語言句子的「主謂」結構，例如把(1)表達為
(at least 2)(STUDENT)(DANCE) (7)
其中"(at least 2)(STUDENT)"和"DANCE"分別對應(1)的主語和謂語。//
這種表達式好像比較貼近自然語言, 亦比 一階謂詞邏輯
∃x∃y (STUDENT(x) ∧ STUDNET(y) ∧ DANCE(x) ∧ DANCE(y) ∧ x ≠ y)
這表達更簡潔, 更具表達力.
一階邏輯與集合論比較
這種表達式好像比較貼近自然語言, 亦比 一階謂詞邏輯
∃x∃y (STUDENT(x) ∧ STUDNET(y) ∧ DANCE(x) ∧ DANCE(y) ∧ x ≠ y)
這表達更簡潔, 更具表達力. //
你說得不錯，究其原因，是因為一階邏輯表達式無法直接表達數字2，請注意一階邏輯沒有集合的概念，更不能使用代表集合基數的符號，所以只能用「迂迴」的方法表達數字2。
反之，Keenan所用的三分結構式是以集合論為基礎，可以用集合論語言表達量詞的真值條件，例如(at least 2)(STUDENT)(DANCE)真當且僅當|STUDENT ∩ DANCE| ≥ 2。請注意由於集合論規定集合中沒有重複的元素，所以Keenan的表達式無需理會這個問題，而一階邏輯的表達式卻要特地提到x ≠ y。
一言以蔽之，集合論語言背後有很多既有的符號和慣例，而一階邏輯的語言卻相當「原始」，這造成兩者的巨大差異。
三分結構式與自然語言不一致之處
補充一點，在某些情況下，前述的三分結構式也有跟自然語言不一致之處。例如，以句子"Every boy loves a girl"為例，其(簡化)三分結構式便要寫成every(BOY)(a(GIRL)(LOVE))，即把動詞放到最後，以清楚表達原句的轄域結構。
但有趣的是，我們熟悉的漢語其實也有這種情況，這就是我們常用的「話題結構」。例如如要清楚表達上句的轄域結構，我們可以這樣說：「每一個男孩都有一個女孩為他所愛」。換句話說，漢語的「話題結構」其實有表達轄域結構的妙用。
由此我們可以說，前述三分結構式與自然語言的不一致之處其實並不嚴重。
謝謝Kafat兄
剛剛讀完，實在得益不淺。
我想問一個問題，你在回應寫到「轄域結構」和「話題結構」，它們的意思是什麼？
/補充一點，在某些情況下，前述的三分結構式也有跟自然語言不一致之處。例如，以句子"Every boy loves a girl"為例，其(簡化)三分結構式便要寫成every(BOY)(a(GIRL)(LOVE))，即把動詞放到最後，以清楚表達原句的轄域結構。
但有趣的是，我們熟悉的漢語其實也有這種情況，這就是我們常用的「話題結構」。例如如要清楚表達上句的轄域結構，我們可以這樣說：「每一個男孩都有一個女孩為他所愛」。換句話說，漢語的「話題結構」其實有表達轄域結構的妙用。/
「轄域結構」
「轄域」是邏輯學上的概念，是指一個邏輯算子的發生效用的範圍，「轄域」這個概念可用來解釋某些歧義。以句子"John didn't interview more than two students"為例，這句有兩種意思，既可理解為「John會見的學生數目不大於二」，又可理解為「有多於兩名學生John沒有會見」。
我們可以把用不同的邏輯式來表達這兩個意思，前一種意思(「John會見的學生數目不大於二」)可以表達為(在下式中，STUDENT代表「學生」，{x: INTERVIEW(j, x)}代表「John所會見的個體」)：
在上式中，否定詞"~"的轄域包含其後的整個式子。
後一種意思(「有多於兩名學生John沒有會見」)可以表達為：
在上式中，否定詞"~"的轄域只包含其後的[{x: INTERVIEW(j, x)}]。
以上兩式代表了上句的兩種轄域結構。
「話題結構」
「話題」本來是一個語用概念，但近年來也成為語法學、語義學重點研究的課題。「話題結構」是一種組織信息的方式，「話題」(Topic)就是舊信息，與「話題」相對的「評述」(Comment)則是新信息。以何者為「話題」，何者為「評述」，視乎當前的對話需要。
漢語中經常出現句子開首不是「常規」的主語的情況，例如「這個人我不認識」，其中「我」是「常規」的主語，因為在上句中「我」(而非「這個人」)才是「認識」的主體。為甚麼漢語要用上述這種「非常規」的表達法？這是因為漢語常常把話題置於句首。假如在對話中提到「這個人」，「這個人」很自然便成為緊接下來的話題，所以便要把它置於句首。
謝謝！
謝謝！
謝謝兩位
謝謝兩位
我正在写广义量词的
我正在写广义量词的单调性，总觉得自己找不到文献，谢谢kafat了。但是我觉得汉语这方面的文献是不是很少啊，，
学习
我們可以交流一下
我正在写广义量词的单调性，总觉得自己找不到文献，谢谢kafat了。但是我觉得汉语这方面的文献是不是很少啊，，
由於廣義量詞理論(以至形式語義學)在中國還是較冷門的學科，所以漢語文獻不多。你說你正在寫廣義量詞的單調性，這也是我重點研究的課題之一，我們可以交流一下。
谢谢
我觉得大多数的广义量词的理论以及研究范围是在以英语为母语的背景下得出的结论，我想这个是不是在中文也合适呢？而且中文这方面的文章很少。呵呵！也许是我闭塞了自己。
学习
漢語廣義量詞的研究
有關漢語廣義量詞的研究的確不多，最重要的應推鄒崇理在《邏輯、語言和信息》一書附錄中對漢語量化句的形式化研究，該文對漢語量詞的形式化處理主要是建基於陳宗明《漢語邏輯概論》以及徐頌列《現代漢語總括表達式研究》中的分析。此外，張喬的《模糊語義學》和高東平的《模糊量詞的邏輯研究》也有把廣義量詞理論和模糊數學應用於漢語模糊量詞的討論。
非常感谢
谢谢周老师啦！（请你原谅在没有得到你的允许下这样称呼）。我觉得用数学的理论去研究语言是很有意思的。但是周老师，我看了一些文献（不多了），发现在论及单调性时没有说明个体域的范围，我觉得是要表明的。借用数学上的理论来研究语言固然是好的，但是也不能忽视了条件。如：.这是我在一篇中文文献看到的例子，some linguists laughed。写者认为要使这个句子的语义值为1的话，就只要使
[linguistic’]^m,g∩[laugh’]^m,g≠ø
但是我觉得这样的形式语义表达式是不完整的，提及到单调性，一定有个体域的范围。如果要是按写者这样的表达式，当这两个的交集是1个元素的话，显然符合这个形式语义的表达式，但是却违背了some linguistics laughed 这句自然语言的逻辑。所以是不是要加上｜linguistic｜﹥2 这只是我的愚见啊.
学习
複數名詞
我其實不是老師，不過我想現時內地喜歡把研究學術問題的人尊稱做「老師」，不管那人是不是老師，就像「男生」、「女生」的稱呼那樣，不管有關人等是否學生。
你所舉例子的最大問題是複數名詞的問題，如果把該句改為"Some linguist laughed"便應該沒問題。英語的"some"是可以與單數名詞共用的，但須弱讀，有些人寫成"sm"。
其實複數名詞的形式表達問題非常複雜，很多學者對此提出了不同的方案，各有千秋。真要研究起來，要花很多心血。
多谢Kafat
非常感谢你的回答了。我导师也跟我们讲过，形式语义学现在很冷门，但是很有前景，我也非常喜欢逻辑学与语言。当翻开新的领域，学到新的知识，我感觉很开心。在学习过程中，能得到Kafat您的指导，是我很大的荣幸。
学习
得益不淺
看了二位的討論，得益不淺。我猜俊俊是語言學的研究生，沒有猜錯吧？
是的
呵呵！是的了。我只是个刚入门的，多亏了kafat的指导了。我很喜欢数学和逻辑。有时GQ的单调性可以应用到我们生活中来的。kafat说
Some linguist laughed.这个句子是复数问题。要使这个句子的语义值为1，则[some]^m,g∩[linguist]^m,g≠ø,那是因为some表达的是一个的概念。逻辑学上有个普遍的意识，如：如果有很6个人在笑，你说有三个人在笑，你的表达在语义值上是真的。所以当我们把Some linguist laughed.这句自然语句表达为形式[some]^m,g∩[linguist]^m,g≠ø是可以的。但是如果是Some linguists laughed。则不能用简单的[some]^m,g∩[linguist]^m,g≠ø。应该要加上个体域的范围。因为我们转化后的[some]^m,g∩[linguist]^m,g≠ø的形式，给我们可以有两种，不是空集，那集合有一个元素应该是符合这个表达的，但是不等同于原来的Some linguists laughed。且也让some失去了单调性。我还有个很愚钝的想法，every和all的单调性在左元和右元上具有相同的单调性，那为什么在否定句中却不同了呢，还有我看到的一些文献，都是肯定句中出发的，那么在否定句中呢？
学习
請解釋
請解釋「every和all的单调性在左元和右元上具有相同的单调性，那为什么在否定句中却不同了呢」這句的意思。
恭贺kafat去浪漫之国
我是从我们师兄（兼老师）上课时给出的他的例子的一点想法：every student who makes a presentation or writes a paper can get the credits. 这个句子的意思是每个学生可以做个演讲或是写文章都可以。如果否定这句话，every student who makes a presentation or writes a paper can not get the credits.则有or 变为and的意思。所以有限于every的当调性。因为我们在谈到广义量词的单调性时，我们一般指的是在肯定句子中，而且一般是很规格的形式Q（A）（B）,但是我们的生活中有许多的句子也出现在否定句中，all 和every在肯定句中单调性的一致，会不会在否定句中也有类似的性质呢？
学习
稍候
周老師可能忙於準備發言稿，以在法國第二屆對當方陣世界大會上發言，故暫時沒空上這裡。
"and"與"or"互相轉化
俊俊舉的例子是關於"and"與"or"互相轉化的例子，跟我的論文中所說的「和或錯位現象」可能有關係。歸根到底，"and"與"or"之間的轉化關係是命題邏輯中「德.摩根律」的表現。
當然我們也可以把「單調性」概念應用於命題邏輯中，例如從「p真和q真」推出「p真」，再由「p真」推出「p真或q真」，便可以看成一種單調性推理，但這跟你舉的例子似乎不一樣。
谢谢kafat的回答
我只是指出这种现象了，还有很多的不明白。现在也在研读kafat的论文。以后不懂的在好好请教。谢谢。
学习