廣義量詞的自然邏輯(二)

3. 單調性推理
3.1 基本定義

「單調性」(Monotonicity)是現代數學和邏輯學上很常見的概念，也是廣義量詞理論重點研究的量詞普遍性質之一。對於單調性，廣義量詞理論研究當量詞的論元被換成其「母集」(Superset)或「子集」(Subset)後，該量詞的真值條件有何變化。由於限定詞有左、右兩個論元，相應地也應有兩類單調性，下表給出「左單調性」的兩個次類的定義。在以下定義中，設Q為限定詞，A、A'、B和B'為集合。

表1

名稱	定義
左遞增(Left Increasing)	若A ⊆ A'，則Q( A )( B ) ⇒ Q( A' )( B )
左遞減(Left Decreasing)	若A' ⊆ A，則Q( A )( B ) ⇒ Q( A' )( B )

此外，若Q是「左遞增」或「左遞減」的，則Q是「左單調」(Left Monotone)的，否則是「左非單調」(Left Non-Monotone)的。舉例說，"every"就是「左遞減」的，這是因為"every(A)(B)"真當且僅當A ⊆ B，現在如有A' ⊆ A並且A ⊆ B，則必有A' ⊆ B，即"every(A')(B)"真。類似地，我們也可定義「右單調性」的兩個次類。


根據量詞的單調性，我們可以得到各種有效的「單調性推理」(Monotonicity Inference)，例如根據上述 "every" 的「左遞減性」，可以得到以下的有效推理：

Every student is wearing uniform. ⇒ Every male student is wearing uniform.

當代學者對「單調性推理」的研究可粗略地分為三個方向，現分述於下(註3)。

3.2 對各類型量詞單調性的確定

第一個研究方向是確定各類型量詞的單調性。對於論元結構較簡單的量詞(包括限定詞)，不難確定其單調性，但對於其他類型的量詞，便要應用較複雜的方法，這方面的研究計有Smessaert (1996)對「結構化量詞」(Structured Quantifier)(例如"More boys than girls sang"中的"more ... than ...")的研究、Zuber (2010)對「迭代量詞」(Iterated Quantifier)(例如"Every boy loves some girl"中的"every ... some")的研究、Peters and Westerstahl (2006)對「所有格結構」(Possessive Construction)(例如"Some of at most 3 members' cars are red"中的"some of at most 3 members' ")的研究等等。



當某些簡單量詞被置於特殊語境下，其單調性會有異常表現，這些特殊語境包括「統指謂詞」(Collective Predicate)(例如"meet"、"do ... together"等)、「內涵謂詞」(Intensional Predicate)(例如"seek"、"wish to"等)和「動態語境」(Dynamic Context)(指包含代名詞跨句指稱現象的語境)。舉例說，下句由於包含「統指謂詞」 "drank ... together" ，"all"喪失了原有的「左遞減性」，導致以下推理無效：

All students drank a whole glass of beer together. ~⇒ All rich students drank a whole glass of beer together.

不同學者對上述特殊語境作了不同研究，包括Ben-Avi (2002)對「統指謂詞」的研究、Zimmermann (2006)對「內涵謂詞」的研究、Kanazawa (1994)對「動態語境」的研究等，對這些異常現象作出了解釋。



除了廣義量詞外，某些語言結構也隱含著量化的因素，也可能存在單調性的問題，因而也被列入單調性研究的範圍之內，這方面的研究包括de Swart (1993)對「量化狀語」(Adverb of Quantification) 的研究、Kennedy (1998)對「極性形容詞」(Polar Adjective)的研究、Zwarts and Winter (2000)對「方位介詞」(Locative Adposition)的研究等，其中Zwarts and Winter (2000)更區分了「點單調性」(Point Monotonicity)和「向量單調性」(Vector Monotonicity)的概念，前者表達空間上的包含關係，後者表達空間上的線性次序，例如以下有效推理便是這兩種單調性的體現：

醫院座落在本市西區。 ⇒ 醫院西翼座落在本市範圍內。

鳥兒在屋頂之上並且鳥兒介於屋頂與飛機之間。 ⇒ 飛機在屋頂之上。

不僅如此，如果我們把量詞看成「高階集合」(註4)，那麼量詞之間的蘊涵關係便可看成集合之間的包含關係；而作用於量化句的「命題聯結詞」則可被看成「高階算子」，因此我們也可研究這些「高階算子」的「高階單調性」(Higher Order Monotonicity)。舉例說，對任意集合B和任意非空集合A來說，總有以下蘊涵關係成立：

every( A )( B ) ⇒ some( A )( B )

~some( A )( B ) ⇒ ~every( A )( B )

現在如果我們把"every"和"some"處理成高階集合EVERY和SOME，並把"~"處理成高階算子，那麼上述關係便可表達為下圖：

一般地，對任何高階集合A、A'，我們有

若A' ⊆ A，則~A ⊆ ~A'

由此可見，"~"是一個具有「高階遞減性」的高階算子。其他命題聯結詞也可作類似處理，這裡不擬詳述。

3.3 單調性概念的推廣與精細化

第二個研究方向是對單調性概念加以推廣(Generalization)或精細化(Refinement)，這方面的研究有以下三種。自然語言中有一些量詞在某個論元上是非單調的，但如果把量化範圍限制於某個局部範圍內，這些量詞便可能呈現遞增／遞減性，這就是Glockner (2006)提出的「局部單調性」(Local Monotonicity)概念。舉例說，"more than 10%"這個限定詞本是「左非單調」的，但如果限制其左論元須在{S: X ⊆ S ⊆ X ∪ Y}內取值，而其右論元須等於Y (其中X和Y為任意集合)，則"more than 10%"在這個局部範圍內是「局部遞增」的。利用上述結果，我們可以得到以下有效推理：

More than 10% of the students wear uniform.

⇒ More than 10% of the students or those who wear summer uniform wear uniform.

如表1所示，就限定詞而言，單調性可分為四個次類(左／右遞增／遞減)，但其實還可以作出更細致的分類。Peters and Westerstahl (2006)提出了六種「基本單調性」(Basic Monotonicity)的概念，其中兩種就是右遞增／遞減性；至於左單調性，則分為四種，分別以東南、西南、西北和東北這四個方向命名。由於這套理論須用到廣義量詞理論中「數字三角形」的概念，這裡不擬詳述，只想指出某些量詞雖然是左非單調的，但在被分解為「基本單調性」後，卻呈現遞增／遞減性質。舉例說，限定詞"at least 1/3"本是「左非單調」的，但從「基本單調性」的角度看，卻是「東南方向遞增、東北方向遞減」的。利用這個結果，我們可以得到以下有效推理：

At least 1/3 of the students joined the men's choir and only men can join the men's choir.

⇒ At least 1/3 of the male students joined the men's choir.

「單調性」與三種「布爾運算」(即集合論上的「并」、「交」、「補」和邏輯學上的「或」、「和」、「非」)存在微妙的關係，例如容易證明，Q是右遞增的當且僅當對任何A、B、B'，都有

Q( A )( B ∩ B' ) ⇒ Q( A )( B ) ∧ Q( A )( B' )

現在如果把上式中的"⇒"改為"⇔"，我們將得到一種新的性質，稱為「右可乘性」。請注意如果Q是右可乘的，則Q必是右遞增的，因此「右可乘性」可被看成「右遞增性」的次類。由此我們看到，透過研究單調性與三種布爾運算的各種關係，我們將可得到單調性的各種次類，筆者把這些次類統稱為「加乘性質」(Additivity / Multiplicativity)和「廣義德.摩根性質」(Generalized de Morgan Property)，這正是Zwarts (1997)和van der Wouden (1997)的研究課題。舉例說，根據"every"的「左反加性」(註5)，我們有以下有效推理：

Every boy or girl is invited. ⇔ Every boy is invited and every girl is invited.



3.4 單調性演算

第三個研究方向是建構有關「單調性演算」(Monotonicity Calculus)的理論。在一個結構複雜的句子中，任一短語可能處於多個量詞或否定詞的轄域之內，這個短語的單調性會受到這些量詞或否定詞的影響，「單調性演算」的目的就是設計一套規則或算法，用來確定一個複雜句中各個短語的單調性，並由此作出推理。



Sanchez Valencia (1991)以「證明論語義學」(Proof-Theoretic Semantics)和「範疇語法」(Categorial Grammar)為基礎設計了第一個「單調性演算」模型，其具體操作方法是，先為句子中的各個詞項加上適當的「範疇語法-單調性」標記，然後借助這些標記逐步算出各個詞項的單調性。以下用一個簡單的例子以作說明，試考慮句子

Fewer than 10 students didn't arrive early.     (8)

下圖顯示這句的「計算樹」：

我們可以把上述計算看成如下的配對過程：找出相鄰的一對形如"A^m → B"和"A"的標記(其中"m"代表單調性標記，可以取"+"號、"−"號或零標記；在配對時不須理會"A"是否有括號)，在"A^m → B"下加上"+"號，並在"A"下加上"m"，然後把"A^m → B"和"A"合併為"B"。上述配對過程須一直進行下去，直至最後所得標記是"t"為止。舉例說，在上圖中，"didn't"的標記為"(e→t)⁻ → (e→t)"，而"arrive early"的標記為"e→t"，兩者正可配對，因此我們在"didn't"的標記下加上"+"號，並在"arrive early"的標記下加上"−"號，然後把兩者合併為"e→t"。



完成上述過程後，便可確定各個詞項的單調性如下：若從「計算樹」樹根的"t"到達該詞項的路徑上有任何零標記，該詞項就是非單調的；若路徑上有偶數個"−"號，該詞項是遞增的；若路徑上有奇數個"−"號，則該詞項是遞減的。根據上圖，可知在(8)中"students"和"arrive early"分別是遞減和遞增的，由此可得到以下推理：

Fewer than 10 students didn't arrive early. ⇒ Fewer than 10 male students didn't arrive.

繼Sanchez Valencia (1991)之後，Dowty (1994)、Kas and Zwarts (1994)、Bernardi (2002)、Fyodorov (2002)、Zamansky (2004)、van Eijck (2007)等人繼續以範疇語法為基礎提出各種模型，以改良Sanchez Valencia (1991)的模型或把其結果推廣應用於其他範疇，例如Kas and Zwarts (1994)的「擴充單調性演算」(Extended Monotonicity Calculus)模型便是以比「單調性」更細致的「加乘性質」作為計算目標，其研究目標不是推導單調性推理，而是解決「極性敏感詞」(Polarity Sensitive Item)的語法問題。



除了範疇語法外，其他類型的推理系統也被用來作為單調性演算的基礎，例如Geurts (2003)的「自然演繹」(Natural Deduction)模型以及MacCartney (2009)的「自然語言推理」(Natural Language Inference)模型(屬於「計算語義學」Computational Semantics的範疇)，其中MacCartney (2009)的模型不僅包含單調性演算的內容，還包含「廣義對當關係」推理(詳見下文)的內容。



上述諸理論都可歸入「證明論語義學」的範疇，除此以外，也可從「模型論語義學」(Model-Theoretic Semantics)(註6)的角度研究單調性演算，周家發(2006)便是這方面的例子。周家發(2006)以廣義量詞理論為基礎，提出了「單調性推理原理」(Principles of Monotonicity Inferences)，其操作方法是先把自然語言句子寫成廣義量詞理論的表達式，然後根據該表達式的轄域結構，確定各個詞項的單調性。以(8)為例，該句可以表達為

(fewer than 10)(STUDENT)(~ARRIVE-EARLY)     (9)

根據上式，ARRIVE-EARLY同時處於"(fewer than 10)"和"~"的轄域之內，同時受到這兩個算子的遞減性影響，結果呈遞增性；而STUDENT則只受"(fewer than 10)"的影響，所以呈遞減性，這個分析結果跟前述一致。



有關單調性推理的其他內容，請參閱拙文《廣義量詞系列：單調性推理原理》、《廣義量詞系列：單調性推理的擴展》和《廣義量詞系列：單調性的進階研究》。

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註3：為免在正文中引用過長的文獻名稱及出處，以下把文獻的全稱及出處置於文末的「參考文獻」，並按作者姓氏及發表年份排列。


註4：根據廣義量詞理論，量詞可被看成「集合的集合」，這實際等於一種「高階集合」。


註5：「反加性」(Anti-Additivity)是指把含析取名詞／動詞短語的句子轉化為合取命題後真值保持不變(反之亦然)的性質。


註6：「模型論語義學」把各種語言單位的語義解釋成某個語義模型下的對應物(例如把不及物動詞解釋成個體集合，把及物動詞解釋成有序對集合等)，「證明論語義學」則把語義解釋歸約為某種證明的過程。

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參考文獻

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