廣義量詞的自然邏輯(三)

4. 三段論推理
4.1 基本定義

「三段論推理」(Syllogistic Inference)是古典邏輯重點研究的推理，曾經幾乎成為古典邏輯的同義詞。在古典邏輯中，「三段論」(Syllogism)是指由三個命題組成的推理，其中兩個是「前提」(Premise)，其餘一個是「結論」 (Conclusion)。根據三個命題的內部結構，古典邏輯學家把三段論區分為不同的「格」(Figure)和「式」(Mood)。此外，古典邏輯還有一個獨特的「周延性」(Distribution)概念：全稱命題(即包含「所有」的命題)的主語以及否定命題的謂語是周延的，而特稱命題(即包含「有(至少一個)」的命題)的主語以及肯定命題的謂語則是不周延的。

古典邏輯學家的工作就是確定哪些三段論格式是有效推理，例如他們指出以下代號為"Barbara"的推理便是有效的(即以任何詞項代入以下的S、P和M都可得到正確的推理)：

前提1：	Every M is P.
前提2：	Every S is M.
結論：	Every S is P.

不僅如此，古典邏輯學家還嘗試以「周延性」概念為基礎，定出一些判斷三段論有效性的簡便規則。


自從現代數理邏輯興起後，三段論推理喪失了獨立研究的價值。其實，即使在現代自然邏輯下，古典三段論也沒有獨立價值，這是因為根據van Eijck (1984, 2005)的研究，古典三段論可以被歸結為單調性推理的特例，而「周延性」則相當於遞減性。舉例說，我們可以這樣理解前述的"Barbara"推理：前提2告訴我們S ⊆ M，由此便可根據前提1以及"every"的左遞減性推出結論。



雖然如此，當代仍有一些學者研究三段論推理，他們採取嶄新的視角，突破古典三段論的某些框框。事實上，當代學者研究的三段論無論在格式、所用的量詞，以至所含命題的數目上，都可以不同於古典三段論，因此本文對「三段論」採取一個極寬鬆的定義：從至少兩個給定的量化句(前提)推出至少一個新量化句(結論)的推理。當代學者對「三段論推理」的研究可粗略地分為三個方向，現分述於下。

4.2 把古典三段論推廣至其他量化句

第一個研究方向是基本沿襲古典三段論的原有概念，但嘗試把古典三段論推廣至其他量化句，推導出不可歸結為單調性推理的「新三段論」，這些研究計有：Reichenbach (1952)研究的含否定詞的三段論、Thompson (1986)和Peterson (2000)研究的含模糊量詞或分數量詞的三段論、高東平(2006)研究的含模糊量詞的三段論、Cavaliere and Donnarumma (2007)研究的含「特殊量詞」(Distinctive Quantifier)(註7)或模糊量詞的三段論以及Philipps (1999)研究的「似然三段論」(Approximate Syllogism)等。



在這些學者中，Reichenbach (1952)、Thompson (1986)、Peterson (2000)和高東平(2006)都推廣了傳統的「周延性」概念，提出新的三段論有效性判斷規則。舉例說，根據Thompson (1986)，以下三段論是有效的：

前提1：	Almost 50% of M are P.
前提2：	Almost 55% of M are S.
結論：	Some S are P.

請注意上述推理不能歸結為單調性推理。


Philipps (1999)在「似然三段論」的研究方面提出了一些獨到的思想。他認為在研究某一推理模式時，不應只用簡單二分法把它分為有效或者無效，而應研究這個推理模式在甚麼情況下會較為可靠或較不可靠。試考慮以下這個推理模式：

前提1：	Q1 S are M.
前提2：	Q2 M are P.
結論：	Q3 S are P.

古典邏輯只說，如果Q₁ = Q₂ = "some"，不可能得到任何結論。Philipps (1999)則指出，當Q₁和Q₂的語義越強，同時Q₃的語義越弱(例如"almost all"、"most"是語義強的量詞，"some"則是語義弱的量詞)時，上述推理模式便越可靠。此外，Philipps (1999)還指出，S與M這兩個集合的相對大小和元素分佈情況也會影響上述推理模式的可靠性。總括而言，Philipps (1999)提出了很多新思想，值得學者繼續深入研究。

4.3 三段論的現代推理系統

第二個研究方向是把古典三段論與現代數理邏輯相結合，建構三段論的現代推理系統，這一方面的研究包括Ben-Avi and Francez (2005)的「自然演繹系統」以及由Third (2006)、Moss (2007, 2008a, b)、Pratt-Hartmann (2004, 2009)、Pratt-Hartmann and Moss (2009)等建構的多個「公理系統」(註8)。雖然這些研究全都只集中於某一「片段」(Fragment)的三段論推理，但這些「片段」擴充了古典三段論的內容，屬於「新三段論」的範圍，Third、Moss和Pratt-Hartmann研究過的「新三段論」便有：含否定詞的三段論、含專有名詞的三段論、含一般動詞的三段論(古典三段論只使用系詞"be")、含並列結構的三段論、「關係三段論」(Relational Syllogism)(即前提和結論中包含多個量詞的三段論)等等。



舉例說，Moss (2008a)提出了一個只包含量詞"all"和"some"的三段論片段，這個片段有以下五條公理：

在上圖所示的每條公理中，紫色橫線上下的命題分別代表前提和結論，其中第一條公理沒有前提，因為"All X are X"是恆真的「重言式」。以下是利用上述公理進行推導的「證明樹」例子：

上述學者除了發掘「新三段論」外，更關注其推理系統的「元邏輯性質」(Metalogical Property)、「計算複雜性」(Computational Complexity)和「表達力」等問題，這些研究成果往往可以跟「人工智能」中的自然語言推理研究接軌，因此在現代邏輯研究中有重要價值。

4.4 借助各種數學工具建構三段論

第三個研究方向是借助各種數學工具建構全新的三段論，這些數學工具包括概率論、模糊數學和代數方法。

4.4.1 概率論方法

使用概率論方法的研究主要包括Dubois et al (1990, 1993)和Khayata, Pacholczyk and Garcia (2002)基於經典「條件概率」(Conditional Probability)以及Oaksford and Chater (2007)基於「貝葉斯概率」(Bayesian Probability)的研究。前者把量化句Q(A)(B)的真值條件看成以下關係：

Prob(B | A) ∈ Q     (10)

其中Prob(B | A)代表給定x屬於A的條件下，x同時屬於B的條件概率，而Q則被看成概率值集合。為把研究結果應用於自然語言推理，上述學者嘗試用各種方法把數值計算結果轉換為自然語言的量詞，或嘗試建構一種「性質推理」(Qualitative Reasoning)，即表面上直接以自然語言中的模糊量詞進行的推理(但背後仍須依賴數值計算)。



Oaksford and Chater (2007)則從心理學角度出發，認為一般人的推理模式不是基於經典邏輯的必然推理，而是基於「主觀概率」(即「貝葉斯概率」)判斷的似然推理。他們提出「概率法則模型」(Probability Heuristics Model)作為一般人進行三段論推理時的心理依據，而這個模型包含人們對概率、信息量和世界知識的判斷，因此儘管其推論不是必然的，但卻仍是符合理性的。Oaksford and Chater (2007)認為他們的理論能更真實反映一般人在日常生活中的推理。

4.4.2 模糊數學方法

使用模糊數學方法的研究主要包括Zadeh (1983, 1985)和Yager (1985a, b)的研究，特別值得一提的是Zadeh (1983, 1985)提出的「量詞擴張原理」(Quantifier Extension Principle)。設有以下三段論模式(寫成Q(x)的形式，其中Q代表量詞，x代表「參項」Parameter (註9))：

前提1：	Q1(x1)
前提2：	Q2(x2)
結論：	Q3(x3)

「量詞擴張原理」是說，如果R(x₁, x₂, x₃)，則R(Q₁, Q₂, Q₃)，其中R代表某種函數／數值比較關係。換句話說，若參項之間存在某種函數／數值比較關係，則量詞之間也存在該種關係。我們可以利用這個原理來求出以下三段論中的Q₃：

前提1：	(slightly more than half of)(|A ∩ B| / |A|)
前提2：	(slightly less than half of)(|A ∩ B ∩ C| / |A ∩ B|)
結論：	Q3(|A ∩ B ∩ C| / |A|)

由於|A ∩ B ∩ C| / |A| = (|A ∩ B| / |A|) × (|A ∩ B ∩ C| / |A ∩ B|)，根據「量詞擴張原理」，應有Q₃ = (slightly more than half of) × (slightly less than half of)，由此根據直觀，可知Q₃大致上等於"(about a quarter of)" (註10)。

4.4.3 代數方法

這裡的代數方法是指初等代數中的方法，這方面的研究計有Sommers (1970)、Murphree (1998)和Sommers and Englebretsen (2000)的「詞項函子邏輯」(Term Functor Logic)，Murphree (1991, 1997)的「數值例外邏輯」(Numerically Exceptive Logic)以及沈小豐、喻蘭、沈鈺(2008)基於「邏輯代數」(Algebra of Logic)發展而來的「解析邏輯」(Analytical Logic)等。



「詞項函子邏輯」的特色是把邏輯推理轉化為正負項加減運算。Sommers (1970)和Sommers and Englebretsen (2000)把含"some"的主語和肯定性謂語表示為正項，把含"every"的主語和否定性謂語表示為負項，而有效三段論的一個必要條件是結論等於兩個前提之和(此外還須滿足其他條件)。舉例說，前述的"Barbara"三段論便可以表達為

前提1：	− M + P
前提2：	− S + M
結論：	− S + P

請注意− S + P剛好等於(− M + P) + (− S + M)，所以上述推理滿足前述必要條件。除了古典三段論外，Sommers and Englebretsen (2000)還研究了較少人問津的「關係三段論」，Murphree (1998)則把Sommers (1970)的理論擴展至包含數值比較量詞的量化句。


不過，Murphree對三段論推理的最大貢獻在於他所創立的「數值例外邏輯」，他把古典量化句推廣為含例外量詞的量化句，這些量化句各有四個等價形式，例如"Every S is P"便被推廣為以下四個等價命題："At least all but x S are P"、"At most none but x S are non-P"、"At most none but x non-P are S"和"At least all but x non-P are non-S"，並表達為下圖：

在上圖中，實線和虛線箭頭分別代表"at least ..."和"at most ..."，"@ − x"和"0 + x"則分別代表"all but x"和"none but x"，其中x為整數。請注意當以0代入上圖中的x後，便可得到"Every S is P"。



Murphree (1991)還利用圖示法提出有效三段論的一個必要條件：把代表兩個前提的圖並排放在一起時，必須有一個實線箭頭從S連至M和另一個箭頭從M連至P，其中第二個箭頭上的數式必須為"@ − x"的形式。舉例說，我們可以驗證前述"Barbara"三段論的有效性如下，先把兩個前提和結論表達為下圖：

在上圖中，我們可以從最左的S沿實線箭頭走到M，然後從M沿另一個實線箭頭走到P，而且第二個箭頭上的數式為"@ − 0"，符合前述規定。請注意由於有M的中介作用，在兩個前提中本來沒有連繫的S和P，在結論中被連貫起來了。



筆者認為，Murphree (1991)理論的最大價值在於可以與前述的「量詞擴張原理」融合。舉例說，利用Murphree (1991)的圖示法，我們可以把"Barbara"三段論重新表述為以下的Q(x)形式：

前提1：	(at most 0)(|M − P|)
前提2：	(at most 0)(|S − M|)
結論：	(at most 0)(|S − P|)

容易證明|S − P| ≤ |M − P| + |S − M|，由此根據「量詞擴張原理」，應有(at most 0) ≤ (at most 0) + (at most 0)，容易看到這個不等式是真的。由此可見，「量詞擴張原理」不僅是模糊三段論的必要條件，也是普通三段論的必要條件，因此筆者認為，「量詞擴張原理」是一切三段論背後的普遍原理之一。有關三段論推理的其他內容，請參閱拙文《廣義量詞系列：古典推理模式》和《廣義量詞系列：三段論推理的革新》。

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註7：Cavaliere and Donnarumma所稱的「特殊量詞」是指"some but not all"和"all or no"，這兩個「特殊量詞」加上古典邏輯的四個量詞("every"、"some"、"no"、"not every")，構成當代邏輯學家提出的「對當六角陣」(詳見下文)。


註8：請注意上述某些學者使用的理論框架是一階謂詞邏輯，嚴格地說不屬於自然邏輯的範圍，但由於他們研究的對象是三段論，所以也一併介紹他們的研究成果。


註9：量詞的「參項」是指決定該量詞真值條件的關鍵值。某些量詞雖然含有多個論元，但我們可以把其真值條件歸結為一個「參項」。舉例說，(at least n)(A)(B)的真值條件為|A ∩ B| ≥ n，這個量詞的「參項」就是|A ∩ B|。


註10：模糊數學有一種嚴謹的數值方法(稱為「擴張原理」Extension Principle)可用以求出兩個模糊量詞的各種運算值。

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