廣義量詞的自然邏輯(四)

5. 對當推理
5.1 基本定義

在古典邏輯中，「對當推理」(Opposition Inference)是指以「對當關係」(Opposition Relation)為基礎的推理，而「對當關係」則是指包含四個經典量詞(即"every"、"no"、"some"和"not every")的量化句(分別記作A、E、I和O)之間的各種邏輯關係，其定義見下表(在以下定義中，設p和q為量化句)：

表2

名稱	定義
差等(Subalternation)	若p真，則q必真；但反之卻不必然
矛盾(Contradiction)	p和q不可同真，且不可同假
反對(Contrariety)	p和q不可同真，但可同假
下反對(Subcontrariety)	p和q不可同假，但可同真

古典邏輯學家把四個量化句和以上關係排成以下方陣，稱為「對當方陣」(Square of Opposition)(請注意在以下方陣中，「所有S不是P」等價於「沒有S是P」；「有S不是P」等價於「並非所有S是P」)：

在古典邏輯中，「對當推理」的重要性僅次於「三段論推理」，雖然在數理邏輯興起後其地位已大不如前，但在當代它又重新引起部分學者的研究興趣，2007年世界各地學者更舉行了「第一屆對當方陣世界大會」，足見其在現代自然邏輯中的重要性。當代學者對「對當推理」的研究可粗略地分為三個方向，現分述於下。

5.2 探尋對當方陣背後的原理

第一個研究方向是探尋對當方陣背後的原理，從而發掘出新的對當方陣，或把對當方陣應用於更廣闊的層面，這方面的研究包括以下內容：de Laguna (1912)發現對當方陣與三段論推理之間存在密切聯繫；Brown (1984)根據主、謂語之間的各種真假關係而劃分出四大類(下分34小類)對當方陣；繆四平(1994)提出含關係命題的對當方陣；黃士平(1998)把對當方陣拆解為「對角關係」與「周邊關係」之間的互動；Jaspers (2005)以平面直角坐標系表述對當方陣；Seuren (2007)提出「改良對當方陣」以及周家發(2006)提出「對當方陣一般模式」(General Pattern of Square of Opposition)等。



「對當方陣一般模式」有兩個等價形式，其第一形式是說：設有命題p、q、r滿足「三分關係」(Trichotomy)，即這三個命題兩兩互斥且合起來窮盡一切可能性，那麼我們可以構造以下對當方陣：

第二形式則是說，設有命題s和t滿足「單向蘊涵關係」，即s蘊涵t，但t不蘊涵s，那麼我們可以構造以下對當方陣：

利用上述兩個形式，便可以構造出無限多個以往邏輯學家沒有發現的對當方陣。

5.3 構造各種對當圖形

第二個研究方向是構造各種對當圖形。早在1950年代，Reichenbach (1952)和Blanche (1953)便分別提出「對當立方體」和「對當六角陣」，其中「對當六角陣」是在古典邏輯的四個量詞之上加上兩個「特殊量詞」－"some but not all"和"all or no"後所得的圖形(包含這兩個量詞的量化句分別記作Y和U)。此後，Beziau (2003)和Horn (2007)分別從邏輯學和語言學角度繼續深入探討「對當六角陣」；而其他學者則提出各種對當圖形，包括周訓偉 (2006)的「邏輯矩形」和「邏輯餅」、Seuren (2007)的「對當八角陣」和「對當十二角陣」、Wolenski (2008)的「對當八角陣」、Moretti (2004)的「對當十四面體」等，Moretti (2004)更發展出一套聯繫邏輯學與幾何學的「n對當理論」(n-Opposition Theory)。以上所述的圖形要麼是對「對當方陣／六角陣」的重新解釋，要麼是加入「模態算子」的結果，後者已超出本文討論的範圍。



Moretti (2004)指出，對於滿足「三分關係」的命題p、q和r來說，能最圓滿地表達這個「三分關係」的圖形不是「對當方陣」，而是「對當六角陣」，這是因為這三個命題加上它們的析取，合共有六個「非平凡」命題：p、q、r、p ∨ q、q ∨ r、p ∨ r，剛可構成一個「對當六角陣」(註11)，如下圖所示(下圖沒有標出各個「差等關係」的箭頭方向，讀者應不難補出)：

上圖的六個命題之間共有15個關係，但為免使上圖過於複雜，這裡略去了傳統「AEOI對當方陣」上的六個關係。細看之下，上圖其實還包含著另兩個「對當方陣」：AUOY和UEYI；此外還有一個「AYE反對三角陣」和一個「IOU下反對三角陣」。由此可見，傳統的「對當方陣」只是「對當六角陣」上的一個局部範圍。



筆者認為，我們可以把以上情況推廣至「n分關係」(n ≥ 3)：設有滿足「n分關係」的n個命題p₁ ... p_n，即這n個命題兩兩互斥且合起來窮盡一切可能性，那麼我們可以構造以下的「對當2n角陣」：

請注意上圖中尚有很多關係沒有繪出來，但不難看出，上圖中所有垂直線都代表「矛盾關係」，上排任意兩個命題之間具有「反對關係」，下排任意兩個命題之間具有「下反對關係」，上排任一命題與不在其垂直線的下排任一命題之間具有「差等關係」。

5.4 對當關係的推廣與精細化
5.4.1 精細化對當關係

第三個研究方向是把對當關係加以推廣或精細化。傳統的對當方陣依賴於一個「主語存在預設」，即A和E句的主語S所指的事物必須存在，否則除了「矛盾關係」外，對當方陣上的其他關係都不成立。Reichenbach (1952)把否定詞"~"加入量化句中，由此產生了其他預設問題。為了區分不同的預設，Reichenbach (1952)把「矛盾關係」以外的對當關係各細分為幾個次類，這些次類可稱為「精細化對當關係」(Refined Opposition Relation)。Reichenbach (1952)正是利用這些「精細化對當關係」構造他的「對當立方體」。



舉例說，「差等關係」可分為三個次類：「真差等關係」(Proper Subalternation)，即傳統的「差等關係」，須依賴於「主語存在預設」，即S ≠ Φ；「斜差等關係」(Slant Subalternation)須依賴於預設S ≠ P；「交差等關係」(Cross Subalternation)則須依賴於預設P ≠ U (其中U代表論域)。容易驗證，"Every S is P"與"Some ~S is P"存在「斜差等關係」，而"Every S is P"與"Some ~S is ~P"則存在「交差等關係」。例如若S = P，則"Every S is P"真而"Some ~S is P"卻假；而在其他情況下，則有Every S is P ⇒ Some ~S is P。

5.4.2 廣義對當關係

除了從預設角度分解出對當關係的次類外，我們也可以從集合關係的角度推廣對當關係，即把對當關係看成集合之間的關係(註12)。根據集合論，兩個集合X與Y之間有以下五種「標準集合關係」：「重合關係」、「真子集關係」、「真母集關係」、「不相交關係」和「交錯關係」，下圖顯示這五種「標準集合關係」的定義及名稱：

從上圖可見，「差等關係」可以被看成COINCIDENCE和PROPER-SUBSET的「并」，即X對Y存在「差等關係」當且僅當X與Y重合或X是Y的真子集。



不過，「標準集合關係」還不是最基本的，這是因為這五種關係沒有考慮X或Y與論域U的關係，因而無法區分「矛盾關係」與「反對關係」。如果我們把U加入上圖，將可得到更細致的分類。根據Brown (1984)，兩個集合之間共有15種「基本集合關係」，下圖顯示這15種「基本集合關係」的定義及名稱(下圖中如不出現X或Y，則代表X或Y等於空集)：

請注意前述五種「標準集合關係」中的每一種都可被看成某些「基本集合關係」的「并」，例如COINCIDENCE便等於EQUIVALENCE、CO-TRUTH和CO-FALSITY的「并」。



上圖顯示，各種古典對當關係可被看成某些「基本集合關係」的「并」，例如「差等關係」便等於EQUIVALENCE、CO-TRUTH、CO-FALSITY、PROPER-SUBALTERNATION、PRE-FALFSITY、POST-TRUTH和ANTI-SUPERALTERNATION的「并」。此外，古典對當方陣遺漏了一些關係，例如PROPER-SUPERALTERNATION等。



由此可見，如果我們把上述「基本集合關係」加以組合，將可得到各種「廣義對當關係」(Generalized Opposition Relation)。「廣義對當關係」的提出可以彌補古典對當關係的不足。前面說過，給定滿足「n分關係」的n個命題p₁ ... p_n，我們可以構造「對當2n角陣」，但這個圖形並未涵蓋所有可能析取命題，例如p₁ ∨ p₄和p₂ ∨ p₄ (設n = 4)便不在這個圖形之上，這是因為古典對當關係未能概括這些析取命題之間的關係。但在引入「廣義對當關係」後，這個問題便不復存在，這是因為任何兩個析取命題之間都有一種「廣義對當關係」成立，例如前述兩個析取命題之間的關係便是LOOSE-RELATIONSHIP。



由此我們可以把「對當2n角陣」作進一步推廣：設有滿足「n分關係」的n個命題p₁ ... p_n以及一組兩兩互斥且窮盡一切可能性的「廣義對當關係」，那麼我們可以這組「廣義對當關係」為基礎構造一個「對當2ⁿ角陣」。下圖顯示以15種「基本集合關係」為基礎的「對當2⁴角陣」的部分內容：

請注意「對當2ⁿ角陣」應是最詳盡表達「n分關係」的圖形。

5.4.3 廣義直言命題

根據廣義量詞理論的觀點，量化句"Q S is P"中的量詞Q表達集合S與P之間的關係，現在如果我們把前述的「廣義對當關係」套用於Q，將可得到很多新的量詞，所得的量化句稱為「廣義直言命題」(Generalized Categorical Statement)(註13)，田龍九(1981)和黃衛星(1994)便是循此方向分別總結出14和25種有研究價值的「廣義直言命題」，例如田龍九(1981)提出的命題「只有一些S是P」便代表S對P存在「真母集關係」(即PROPER-SUPERSET)。



於此順帶一提「謂語量化」(Quantification of the Predicate)的問題。在一般直言命題中，量詞只出現於主語。但在19世紀中葉，Hamilton提出一種主、謂語皆包含量詞的量化句，例如"Every S is every P"、"Some S is every P"等，以下稱為「謂語量化句」。由於這類量化句的語義難以理解，沒有引起學界共鳴。及至一個世紀多後，Fogelin (1976)根據「周延性」定義解釋「謂語量化句」的語義，重新引起學界對這類量化句的注意。根據Fogelin (1976)，所有「謂語量化句」都等價於某種普通量化句，例如

Every S is every P. ⇔ Every S is P and every P is S.     (11)

Some S is every P. ⇔ Every P is S.     (12)

從「廣義對當關係」的角度看，以上兩句分別表達S與P之間的「重合關係」(即COINCIDENCE)以及S對P的「母集關係」(即COINCIDENCE與PROPER-SUPERSET的「并」)。由此可見，「謂語量化句」在本質上是一種「廣義直言命題」。

5.5 對當演算

根據量詞和對當關係的定義，我們可以得到某些有效推理，例如根據"every"與"no"的「反對關係」，我們有

No student wore uniform. ⇒ Not every student wore uniform.

不過，上述推理似乎過於直觀平凡，因此筆者在這裡提出一些構想，冀能建構一種「對當演算」(Opposition Calculus)，藉以發掘一些較有趣的推理模式。現時在這方面尚未形成一種研究方向，只有一些零星的研究，其中值得一提的是MacCartney (2009)的「自然語言推理」模型。該模型由多個模塊組成，其中一個模塊專門進行以下這種「對當三段論」推理：

Fish and human are contraries and human and non-human are contradictories.

⇒ Fish is subalternate to non-human.

此外，van Benthem (2008)也曾提過一種由「單調性演算」推廣而來的推理，以下把他的構想表述為更一般的形式。首先，我們可以把「左遞增性」推理的定義表述為：

已知A ⊆ A'，找出量詞Q使得Q( A )( B ) ⊆ Q( A' )( B )     (13)

現在，如果我們把上式中的"⊆"改為一般的「廣義對當關係」(記作GOR)，便可得到「左對當演算」的一般
定義如下：

已知GOR(A, A')，找出量詞Q使得GOR(Q( A )( B ), Q( A' )( B ))     (14)

其中GOR(A, A')代表A和A'具有GOR這種「廣義對當關係」。舉例說，當GOR = DISJOINT時，Q = "only"滿足(14)，而Q = "all"則不滿足(14)。具體例子為，已知"elderly"與"youngsters"存在DISJOINT關係，我們有"Only elderly are admitted"與"Only youngsters are admitted"也存在DISJOINT關係，但"All elderly are admitted"與"All youngsters are admitted"卻不存在DISJOINT關係。如何找出滿足(14)的量詞，還有待學者深入研究。有關對當推理的其他內容，請參閱拙文《廣義量詞系列：古典推理模式》和《廣義量詞系列：直接推理的革新》。

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註11：此外，還有兩個「平凡」命題：F (代表恆假命題，即p、q、r皆無)和T (代表恆真命題，亦即p ∨ q ∨ r)，這裡暫不考慮。


註12：如何把命題之間的關係看成集合關係？方法是引入「可能世界」(Possible World)的概念，即把某命題p看成使p為真的所有可能世界的集合。


註13：「直言命題」乃相對於「聯言／選言／假言／模態命題」而言，即不含「合取／析取／蘊涵／模態詞」(但可包含「量詞／否定詞」)的簡單命題。

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參考文獻

• Beziau, J.-Y. (2003), "New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner" in Logical Investigations, 10, pp. 218-233
• Blanche, R. (1953), "Sur l'opposition des concepts" in Theoria, 19
• Brown, M. (1984), 'Generalized Quantifiers and the Square of Opposition" in Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. 25, No. 4, pp. 303-322
• Fogelin, R.J. (1976), "Hamilton's Quantification of the Predicate" in The Philosophical Quarterly, Vol. 26, No. 104, pp. 217-228
• Horn, L.R. (2007), "Lexical Pragmatics and the Geometry of Opposition" in Beziau, J.Y. (ed.), Papers from the World Congress on the Square of Opposition
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• Moretti, A. (2004), "Geometry for Modalities? Yes: Through 'n-Opposition Theory' " in Beziau, J.-Y., Costa-Leite, A. and Facchini, A. (eds.), Aspects of Universal Logic, Cahiers de logique - Universite de Neuchatel, pp. 102-145
• Reichenbach, H. (1952), "The Syllogism Revised" in Philosophy of Science, Vol. 19, No. 1, pp. 1-16
• Seuren, P.A.M. (2007), The Natural-Logic Project, manuscript, Max Planck Institute for Psycholinguistics
• Wolenski, J. (2008), "Applications of Squares of Opposition and Their Generalizations in Philosophical Analysis" in Logica Universalis, 2, pp. 13-29
• 黃士平(1998)，"邏輯魔方－邏輯方陣內在機制及其普適性探討"，《江漢大學學報》，第15卷第4期，pp. 83-89
• 黃衛星(1994)，"廣義直言判斷和廣義三段論新探"，《傳統邏輯與現代邏輯》，北京：開明出版社，pp. 40-49
• 繆四平(1994)，"關係命題的種類及相應邏輯關係"，《傳統邏輯與現代邏輯》，北京：開明出版社，pp. 30-39
• 田龍九(1981)，"一個直言命題的新系統"，《武漢大學學報(社會科學版)》，1981年第4期
• 周家發(2006)，《論自然語言量化結構的單調推理關係》，香港理工大學碩士論文
• 周訓偉(2006)，"從邏輯方陣經邏輯矩形到邏輯餅"，《北京聯合大學學報(自然科學版)》，第20卷第3期，pp. 41-42
  
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