7. 其他自然邏輯理論框架
7.1 引言

至此筆者已介紹了有關廣義量詞四大類自然邏輯推理的各種理論框架，其中以「廣義量詞理論」(Generalized Quantifier Theory)和「範疇語法」(Categorial Grammar)最為重要。「廣義量詞理論」的特點是以集合論語言表述廣義量詞的真值條件，例如把"every(A)(B)"的真值條件表述為A ⊆ B。「範疇語法」(註16)的特點則是把句子的生成過程表述為句中各個「範疇」(「範疇語法」把句子和各種詞類統稱為「範疇」)之間的推導關係，這種推導關係類似邏輯推理。

舉例說，如果把句子、名詞短語和不及物動詞短語分別簡記為s、np和np → s (不及物動詞短語的特點是，當它與一個名詞短語結合後，便成為一個句子，所以記作np → s)，那麼"Mary danced"的生成過程便可以表述為

請注意上圖中的推導類似命題邏輯中「肯定前件律」(Modus Ponens)的運用，即給定p和p ⇒ q，可以推出q。



除了以上兩種理論外，當今尚有其他理論框架也可劃歸「自然邏輯」的範圍，但由於它們的研究內容不屬於上述四大類推理，所以留待本節才作出介紹。

7.2 基於蒙太格語法的自然邏輯

以Montague (1973)為代表的「蒙太格語法」(Montague Grammar)一般被視為當代「形式語義學」(Formal Semantics)的開端，其最大貢獻是把一階謂詞邏輯成功應用於自然語言的語義分析中，打破了人工邏輯語言與自然語言之間的藩籬。雖然Montague (1973)是以一階謂詞邏輯來表述自然語言句子，但他借用當代邏輯的「λ演算」(λ-Calculus)理論使其表達式能反映自然語言句子的句法結構。舉例說，在一階謂詞邏輯下，

Every boy danced.     (29)

一般表達為

∀x (BOY(x) ⇒ DANCE(x))     (30)

上式沒有反映(29)的句法結構；但在「蒙太格語法」下，(29)卻可表達為

[λPλQ∀x(P(x) ⇒ Q(x))(BOY)](DANCE)     (31)

其中"λPλQ∀x(P(x) ⇒ Q(x))"便是"every"的表達式，請注意(31)比(30)較貼近(29)的句法結構。後來「廣義量詞理論」索性用廣義量詞"every"代替這個表達式，使(31)在形式上更貼近(29)。



可是，Montague (1973)沒有處理自然語言邏輯推理的問題，這方面的工作乃由McAllester and Givan (1992)完成。McAllester and Givan (1992)採用在形式上比Montague (1973)更貼近自然語言的表達式，例如把句子"Every child of a bird is a friend of every bird watcher"表達為

(every (child-of (some bird)) (friend-of (every bird-watcher)))

他們的理論框架可以證明某些「關係命題」推理，例如

Every child of a bird is a friend of every bird watcher.

⇒ Anyone who owns the child of a bird also owns a friend of every bird watcher.

不過，他們是從人工智能自動推理的角度研究自然語言推理問題，所以較關注「可判定性」和「計算複雜性」等理論問題。為易於處理這些理論問題，他們的理論框架只包括古典邏輯中的四個量詞，其表達力甚為有限。

7.3 基於布爾語義學的自然邏輯

由Keenan and Faltz (1985)開創的「布爾語義學」(Boolean Semantics)是一種結合「布爾代數」(Boolean Algebra)與「形式語義學」的理論。「布爾語義學」把自然語言中的各種詞類和語言單位類別處理成「布爾代數」，即含有「并」(∨)、「交」(∧)、「補」(~)這三種運算以及「偏序關係」(≤)的集合(上述運算和關係須滿足某些公理)，例如所有名詞短語構成一個「名詞短語代數」，所有句子又構成另一個「句子代數」。



這種理論把能夠出現於自然語言不同層面(詞、短語、分句)的"or"、"and"和"not"處理成同一種運算，例如"John or Mary"是「名詞短語代數」上「并」運算的結果，而"John sang or Mary danced"則是「句子代數」上「并」運算的結果。類似地，自然語言不同層面上的包含／蘊涵關係也可以處理成同一個「偏序關係」，例如在「名詞短語代數」中，"boys"與"human beings"之間的包含關係可以表達為

boys ≤ human beings

而在「句子代數」中，"John sang"與"John sang or Mary danced"之間的蘊涵關係也可以表達為

John sang. ≤ John sang or Mary danced.

後來，Winter (2001)進一步發展「布爾語義學」，把這套理論應用於並列關係、複數名詞和轄域的語義解釋。



上述學者主要是借助「布爾語義學」來解釋某些語義問題而非邏輯推理。不過，Zuber (2002, 2003)以「布爾語義學」為基礎，提出了一種嶄新的推理關係－「跨類蘊涵」(Intecategorial Entailment)。如前所述，一般的包含／蘊涵關係都是同一個「布爾代數」內成員之間的關係，但Zuber (2002, 2003)指出，不同「布爾代數」的成員之間也可以存在蘊涵關係，例如

the mosquito net that Leo bought ≤_IC Leo bought a mosquito net.     (32)

上式表達「名詞短語代數」與「句子代數」之間的「跨類蘊涵關係」，其中下標"IC"代表「跨類」(Intercategorial)。上式之所以成立，是因為不論名詞短語"the mosquito net that Leo bought"出現於任何合語法句子的任何部分，該句都必蘊涵"Leo bought a mosquito net"。



請注意(32)其實也可看成語用學中研究的「預設」(Presupposition)關係，即"the mosquito net that Leo bought"預設"Leo bought a mosquito net"。雖然並非所有「跨類蘊涵關係」都屬於「預設」關係，但「跨類蘊涵」概念的提出的確為「預設」(以及其他語言現象)的研究提供了一個全新視角。

7.4 基於計算語義學的自然邏輯

「計算語義學」(Computational Semantics)是一個嶄新的學科，專門研究如何用電腦或程式語言實現邏輯學或形式語義學所作的語義分析成果，包括用電腦實現「自然語言推理」。「計算語義學」可以採用不同的研究方式，有些學者把自然語言句子翻譯成一階謂詞邏輯表達式，然後進行處理，例如Blackburn and Bos (2005)；有些學者則採用自然邏輯的模式，在自然語言句子上加上各種標記，然後進行處理，此即「文本推理」(Textual Inference)。較有代表性的「文本推理」研究包括Nairn, Condoravdi and Karttunen (2006)以及MacCartney and Manning (2007)，請注意前述MacCartney (2009)的「自然語言推理」模型就是結合這兩種「文本推理」的成果，其中MacCartney and Manning (2007)主要研究「單調性演算」和「對當演算」，這在前面已作介紹，以下介紹Nairn, Condoravdi and Karttunen (2006)的研究內容。



Nairn, Condoravdi and Karttunen (2006)研究某些可帶(限定或非限定)從句的動詞的推理問題，舉例說，在
句子

Ed forgot to close the door.

中，動詞"forgot"後帶非限定從句，上句分別蘊涵和預設(註17)以下第一和第二句：

Ed did not close the door.

Ed intended to close the door.

有趣的是，當"forgot"後帶限定從句時，整句的預設跟前述截然不同，例如下面第一句預設第二句：

Ed forgot that the door was closed.

The door was closed.

以往很多學者對上述情況作出了研究，Nairn, Condoravdi and Karttunen (2006)的工作就是把這些研究成果轉化為一種能由電腦執行的算法。由於電腦跟人腦有很大差異，「計算語義學」有很多該學科獨有的課題，這方面的研究可說是方興未艾，還有大量工作要做。

7.5 基於非標準邏輯的自然邏輯

「非標準邏輯」(Nonstandard Logic)是指古典邏輯和數理邏輯以外的邏輯，在當代興起了大批「非標準邏輯」，本文無法介紹哪怕一小部分，因此這裡只擬介紹兩個可歸入「自然邏輯」範疇的推理系統，即Suppes (1979, 1981)和Purdy (1991, 1992)的系統。



Suppes (1979, 1981)受當時風行的「轉換生成語法」(Transformational Generative Grammar)的影響，因此他在其設計的邏輯系統中，定出一些生成英語句子的句法規則以及相應的語義表達式，例如以下是其中一條規則及其表達式(略作簡化)：

S → EQ + NP + VP

[NP] ∩ [VP] ≠ Φ

其中"S"、"EQ"、"NP"和"VP"分別代表「句子」、「存在量詞」、「名詞短語」和「動詞短語」，[NP]代表由"NP"所指個體組成的集合等。Suppes (1979, 1981)基於這些規則和表達式，提出一些推理規則，例如其中一條規則是

其中I(NP)代表以「存在量詞 + NP」為主語的句子，C(NP, NP')則代表形如"All NP are NP' "的句子，或者NP = NP'加上一些修飾語。根據以上規則，我們有以下有效推理：

以上推理符合上述規則，其中"black"是形容詞，是作為"cows"的修飾語。



請注意Suppes (1979, 1981)力圖直接從英語的表層句法結構進行推理，所以他把推理規則定得非常細致具體；但由於自然語言句法結構靈活多變，同一個句法單位可能出現於不同位置，這樣Suppes便要為每一種句法單位可能出現的每一個位置設立一條句法規則，使他的規則變得非常繁瑣和缺乏概括性。



Purdy (1991, 1992)則力圖建構一種類似三段論但比三段論涵蓋面廣的「表層語言推理」(Surface Reasoning)系統，他所指的「表層語言」是以「包含」(Inclusion)、「排除」(Exclusion)和「相交」(Overlap)這三種最基本邏輯關係為基礎的語言，而這三種關係正是分別由自然語言中最常用的三個限定詞"all"、"no"和"some"來表達，因此他認為他的系統能較佳地反映人類的推理機制。



表面上看，Purdy (1991, 1992)的邏輯系統跟一階謂詞邏輯很相似，因為他的系統也包含公理和推理規則，他也為其系統設計了搜尋證明的策略(當今的數理邏輯也有各種搜尋證明的方法，例如「歸結法」Resolution Method、「表列法」Tableau Method等)。但Purdy (1991, 1992)強調他的系統跟古典三段論一樣，是以「類別」(Class，即相當於「集合」)為基礎，因此他的語義表達式跟同樣以集合論為基礎的廣義量詞理論表達式頗為相似，例如他把"Some horses are faster than some dogs"表達為

some H some D F

Purdy (1991, 1992)亦強調，他的系統較古典三段論涵蓋面廣，可以推導出古典三段論沒有研究的「關係三段論」，例如他便示範了如何用他的系統證明以下三段論：

前提1：	Some horses are faster than some dogs.
前提2：	All dogs are faster than some men
結論：	Some horses are faster than some men.

7.6. 結語

本文介紹了「自然邏輯」的各種理論，其實從更廣的角度看，當今尚有多種從語言學、邏輯學、數學、語言哲學乃至心理學角度研究自然語言推理的理論，由於這些理論並不都屬於「自然邏輯」的範圍，而且筆者所知有限，本文不能一一介紹。但筆者相信，透過本文的介紹，讀者應能了解，自然語言推理有非常豐富的內容，本文介紹的推理只涵蓋了一小部分，自然語言推理尚有其他類型以及很多未被發現的奧秘，有待我們深入挖掘。

全 文 完

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註16：「範疇語法」有很多變體及分支，其中較重要者包括「組合範疇語法」(Combinatory Categorial Grammar)和「類型-邏輯語法」(Type-Logical Grammar)。此外，根據Moortgat (1997)，「範疇語法」可以與其他邏輯學／語言學理論，例如「詞匯功能語法」(Lexical Functional Grammar)和「加標演繹系統」(Labelled Deductive System)結合，形成混合理論。


註17：命題p「蘊涵」命題q的定義為：若p真，則q必真。命題p「預設」命題q的定義則是：不論p真還是p假，q都真。惟請注意，這只是「預設」的眾多定義之一，學界對「預設」進行了大量研究，提出很多理論框架，這裡不能一一介紹。

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參考文獻

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