無窮系列之和

原來series譯作級數。

葉博士此書走馬看花的讀過，你說的倒沒想過呢。

Nick的思維非常細緻嚴謹。

例如：(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+......=1.

這個問題的源起或是F.Waismann的《The Principles of Linguistic Philosophy》。

他首先提出了這個例子。

//葉博士所引之（Ｓ）是發散級數﹝divergent series﹞，故不趨向某極限。//

Nick兄的意思是否只在divergent series，那個說法才成立?

你連這本書也看了？厲害！我是很多年前看的，忘了他講過這個例子。在哪一頁？

剛剛找到，是第10頁，在THE NATURE OF A PHILOSOPHICAL PROBLEM那個Chapter。(第2版)

謝謝！Waismann的說法也有問題。

她的說法大致沒問題，除了最後一段。在前面的文字，她都用「無窮系列S」這個片語，文中的批評我們可以理解成：特定的序列S之中的「和」沒有意義。可惜在最後一段她卻將問題普遍化，說成所有無窮系列都有問題。

不知Waismann原著是否也是如此？

The next step consists in seeing that the word 'sum', first of all explained only for a finite number of terms, has as yet no meaning when applied to an infinite series.(p.10)

顯然Waismann不懂數學。

謝提供原文。（我的留言說「原著」不準確）

又再重看葉的文字，發覺原來倒數第三段開始便可能有問題：

 「在此需做的工作，不是進行數學演算……而是著手釐清問題的意思，即從『無窮系列S的和是什麼？』這個問題倒溯到『「無窮系列的和」是什麼意思？』這樣的問題上去。」

由這段開始要改寫。對於無窮系列之和的演算，的確不是第一時間就求「和」，而是審察該系列的類型、有沒有極限等，這個「審察」的過程我想也屬於數學演算而非釐清，因此這句就錯了。

我看葉博士說"「和」在無窮系列沒有意義" 是在 "和" 的一貫意思下而言的.

平時我們說的"和"是指算式中由首項一直連加到尾項所得出的總數. 但對於無窮數列, 尾項從何說起? 無窮數列根本沒有尾項. 所以"無窮數列之和" 沒有意義.

而在1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+......=Pi/4 或 (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+......=1 等等的例子中, 其"和" 都是靠引入"極限" 這概念而求得的.  求(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+......的和即是求該數列的極限(在該例子中是1). 這不過是說該數列一直連加下去, 無論加到哪一項, 其結果都不超過1而且. 引進了"極限" 這概念之後的"和" 已不同於"和"的一貫意義, 它不再指由首項直加到尾項的得數. 雖然極限在數學上有很大用處, 但我認為不可以跟"和"的通常意義混為一談.

所以 我認為葉博士這一說法並無不妥.

如果是這樣，說「沒有尾項」不是清晰得多嗎？

//我看葉博士說"「和」在無窮系列沒有意義" 是在 "和" 的一貫意思下而言的. //

何謂「和」的一貫意思？「和」在有限系列的運算中能得出結果，在某些無限系列的運算中也能得出結果，哪一種是「和」的一貫意思？

//平時我們說的"和"是指算式中由首項一直連加到尾項所得出的總數. 但對於無窮數列, 尾項從何說起? 無窮數列根本沒有尾項. 所以"無窮數列之和" 沒有意義. //

 某些無限數列的「和」是一確定的數，怎能說「和」在這裡沒有意義？那豈不是說所有的極限和微積分都沒有意義？

//引進了"極限" 這概念之後的"和" 已不同於"和"的一貫意義, 它不再指由首項直加到尾項的得數. 雖然極限在數學上有很大用處, 但我認為不可以跟"和"的通常意義混為一談. //

這就前後矛盾了。前面說「和」在無限數列中沒有意義，現在又說意義不一樣。到底是沒有意義還是意義不同？最多只能說「和」有兩種意義：「和1」和「和2」。前者計算有限數列，後者計算無限數列。不能說在後者「和」沒有意義。

//所以 我認為葉博士這一說法並無不妥. //

 當小葉說「和」在無限系列中沒有意義時，她指的是哪一種「和」？

如果指的是「和1」，那麼她的說法沒什麼意思。因為這無法解釋為何「1-1+1-1+1-1......」沒有結果，而某些其他無窮數列的和卻有結果。

如果指的是「和2」，那她的說法就錯了。因為在某些無窮數列中「和2」有意義。

所以，小葉的說法確有不妥。

不是！某些發散數列的和也有一個確定的結果，故「和」在這些發散數列中也有意義。

如：1+2+1+2+1+2......＝無窮大。

原來是前輩的前輩。

Ray： //引進了"極限" 這概念之後的"和" 已不同於"和"的一貫意義, 它不再指由首項直加到尾項的得數//

冷眼：//最多只能說「和」有兩種意義：「和1」和「和2」。前者計算有限數列，後者計算無限數列。//

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說「和」在無窮數列中沒有意義，這種說法固然有問題；但說「和」有兩種意義，這種說法也值得商榷。有許多數學概念，它們原初只適用於某一範圍裡，後來適用的範圍擴展了，但人們並不認為其意義改變了。

例如：在引入負數前，「差」只適用於大數減小數，如「5-2=3」。小數減大數被認為沒有意義。後來「差」擴展到也適用於小數減大數，為此引入負數這個概念，於是就有「2-5= -3」等。但數學家並不認為「差」的意義不同了，無論是用於大數減小數，還是用於小數減大數，「差」還是原先的「差」，意義並沒有改變。

又如：以前「商」只適用於除數不是零的情形，任何數除以零被認為沒有意義。後來數學家將任何數除以零（n/0）定義為無窮大。但數學家並不認為在「n/0」中「商」的意義不同於其一貫的意義。

再如：以前「平方根」只適用於正數，負數的開方被認為沒有意義。後來數學家將之擴展到也適用於負數，為此引入虛數這個概念，將 -1的平方根定義為i。但數學家並不認為在虛數中平方根的意義不同於它在實數中的意義。

同樣的，「和」原先是運用於有限的數列，後來擴展到也適用於無限的數列，但數學家並不認為其意義不同了。當然，數學家的觀點不一定對，但僅僅因為其適用範圍得到擴展就認為其意義改變了，這種觀點欠缺說服力。要證立這種觀點，必須有更強的論據。

事實上，如果認為某一運算符號在不同的範圍裡其意義不一樣，這在數學上會引起極大的麻煩，會使許多運算無法進行。

以「平方根」為例，如果認為當它運用於正數和負數時，其意義不一樣，我們就無法計算 -4的平方根。按照現有的算法，-4的開方是2i。方法是：先將「-4」變為「4乘 -1」，然後開方4得2，開方 -1得i，合起來就是2i。但如果認為「平方根」的意義不一樣，就得不出2i這個結果，因為 -4整個來說是一個負數，不能以正數的開方法對它進行開方。

再以「和」為例。看看以下這個無窮數列的和：1/2+1/4+1/8+1/16+......。在這個數列的任何有限的部分中，運算符號「＋」都有意義，而一旦考慮到整個數列，所有的「＋」就突然變得沒有意義或意義不同了，這難以令人信服。

所以，對於以上提到的運算符號或數學概念，當它們的適用範圍獲得擴展後，認為其意義並沒有改變，似乎比較合理。

//引進了"極限" 這概念之後的"和" 已不同於"和"的一貫意義, 它不再指由首項直加到尾項的得數//

引進「極限」概念後，「和」的意義是否不同了？我認為不是。我認為這只是引入新的計算技巧，而不是改變「和」的意義。

有人或反駁說，「和」的意義不是取決於其計算技巧嗎？計算技巧的改變或引入新的技巧，「和」的意義也就不同了。我認為這種說法混淆了「和」這個概念與「和」的算法，概念（或意義）不同於算法（或計算技巧），二者不可混為一談。

打個比方。我們做乘法時有一定的步驟和技巧，但這步驟和技巧不是唯一的，可以有別的步驟和技巧，可以想像其他文明的人他們做乘法時的步驟和技巧與我們不一樣，但結果是相同的。我們能夠說他們的「乘」的意義與我們的不同嗎？我認為不能。我認為雙方的「乘」的概念是同一個概念，其意義並無不同，只是計算的方法不同而已。

再看看「和」。對於有限的數列，其「和」是將數一個一個地加上去；對於無限的數列，其「和」是運用極限的方法完成的。二者只是算法或計算技巧不同而已，意義並無不同。對於二者來說，「和」意義都是指將這些數加起來。（對於無窮數列，我們無法將無限個數「全部」加起來，所以才需要運用極限的方法。）

因此，我傾向認為，對於有限數列和無限數列，「和」的意義並無不同，只是算法不同而已。（至於「和」在無窮數列中沒有意義的說法，就更無說服力。）

以上只是我初步的看法，並非不能改變。以前沒有想過這個問題，我不認為我的理由和分析無懈可擊，希望看到更有說服力的理由和分析，無論是哪一方的意見。